Teorema de Tales é aquele que nos diz que:
“Se um feixe de retas paralelas é interceptado por duas retas transversais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais”.
Ele pode ser representado pela seguinte figura:
Esse teorema estabelece uma relação de proporcionalidade, que nos permite comparar esses segmentos:
Já a semelhança de triângulos acontece quando dois triângulos diferentes possuem ângulos congruentes e lados correspondentes proporcionais.
Exemplo:
Os triângulos BEF e BAC são semelhantes, pois ambos compartilham os mesmos ângulos e possuem lados proporcionais. Nesta figura, isso também se aplica ao triângulo FDC.
Assim, também podemos aplicar uma relação de proporcionalidade:
Exercícios sobre semelhança e teorema de Tales
QUESTÃO 1
(Fuvest) Um marceneiro possui um pedaço de madeira no formato de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 12 cm e 35 cm. A partir desta peça, ele precisa extrair o maior quadrado possível, de tal forma que um dos ângulos retos do quadrado coincida com o ângulo reto do triângulo. A medida do lado do quadrado desejado pelo marceneiro está mais próxima de
a) 8 cm.
b) 8,5 cm.
c) 9 cm.
d) 9,5 cm.
e) 10 cm.
RESOLUÇÃO:
Para entender melhor o que temos que fazer, vamos desenhar. Veja:
Veja que temos que descobrir a medida dos lados do quadrado. Nesse caso, vamos chamá-los de x. Como é um quadrado, todos os ângulos internos valem 90º.
Repare que o triângulo formado acima do quadrado compartilha os mesmos ângulos com o triângulo grande. Com isso, podemos montar uma relação de semelhança.
De acordo com a figura: ΔBEF ~ ΔBAC.
Vamos aplicar a proporção:
Agora basta multiplicar cruzado. Chegaremos a:
x ≅ 8,9 cm
RESPOSTA: C
QUESTÃO 2
(Famema) A figura mostra o triângulo retângulo ABC, de hipotenusa AB = 10 cm, = com o ângulo ABC = 30º e o ponto D sobre o lado BC.
Sabendo que AD é bissetriz do ângulo BAC, o valor da razão 
é
RESOLUÇÃO:
Se AD é uma bissetriz, isso significa que ela divide o ângulo em duas partes iguais.
Isso posto, repare que podemos usar o ângulo de 30º do triângulo maior para descobrir o cateto oposto (do lado CA, que vamos chamar de x):
x = 5 cm
Agora, vamos usar o teorema da bissetriz interna. Ele nos diz que:
Vamos ajustar para chegar no que a questão nos pede:
RESPOSTA: E
QUESTÃO 3
(Ufu) Uma área delimitada pelas Ruas 1 e 2 e pelas Avenidas A e B tem a forma de um trapézio ADD’A’, com AD = 90 m e A’D’ = 135 m, como mostra o esquema da figura abaixo.
Tal área foi dividida em terrenos ABB’A’, BCC’B’ e CDD’C’, todos na forma trapezoidal, com bases paralelas às avenidas tais que AB = 40 m, BC = 30 m e CD = 20 m.
De acordo com essas informações, a diferença, em metros, A’B’ − C’D’ é igual a
a) 20.
b) 30.
c) 15.
d) 45.
RESOLUÇÃO:
Para facilitar, vamos chamar A’B’ de x e C’D’ de y. Note bem que temos um teorema de Tales formado:
Multiplicando em cruz:
x = 60 m
Agora para y:
y = 30 m
x – y = 60 – 30 = 30 m
RESPOSTA: B
QUESTÃO 4
(Ufpr) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.
A altura do suporte em B é, então, de:
a) 4,2 metros.
b) 4,5 metros.
c) 5 metros.
d) 5,2 metros.
e) 5,5 metros.
RESOLUÇÃO:
Toda vez que temos um trapézio, podemos dividi-lo em duas figuras: um triângulo e um retângulo. Note a linha vermelha:
Note que a única medida que não conhecemos é a altura do triângulo de cima à esquerda. Vamos chamar de x.
Podemos, então, aplicar a relação de semelhança, já que eles compartilham os mesmos ângulos:
ΔDFH ~ ΔDEG
x = 1,2 m
x + 4 = 1,2 + 4 = 5,2 m
RESPOSTA: D
QUESTÃO 5
(Ueg) Três ruas paralelas são cortadas por duas avenidas transversais nos pontos A, B e C da Avenida 1 e nos pontos D, E e F da Avenida 2, de tal forma que AB = 90 m, BC = 100 m, DE = x e EF = 80 m.
Nessas condições, o valor de x é
a) 62 m
b) 60 m
c) 72 m
d) 74 m
e) 68 m
RESOLUÇÃO:
Temos que desenhar:
Fazendo a relação:
x = 72 m
RESPOSTA: C
Para aprender mais
Assista à aula abaixo com a resolução desses exercícios para aprender, de uma vez por todas, sobre Semelhança e Teorema de Tales.
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