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Tudo sobre Semelhança e Teorema de Tales

Teorema de Tales é aquele que nos diz que:

“Se um feixe de retas paralelas é interceptado por duas retas transversais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais”.

Ele pode ser representado pela seguinte figura:

imagem 1 teorema de tales

Esse teorema estabelece uma relação de proporcionalidade, que nos permite comparar esses segmentos:

imagem 2 teorema de tales

Já a semelhança de triângulos acontece quando dois triângulos diferentes possuem ângulos congruentes e lados correspondentes proporcionais.

Exemplo:

imagem 3 teorema de tales

Os triângulos BEF e BAC são semelhantes, pois ambos compartilham os mesmos ângulos e possuem lados proporcionais. Nesta figura, isso também se aplica ao triângulo FDC.

Assim, também podemos aplicar uma relação de proporcionalidade:

imagem 4 teorema de tales

Exercícios sobre semelhança e teorema de Tales

QUESTÃO 1

(Fuvest) Um marceneiro possui um pedaço de madeira no formato de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 12 cm e 35 cm. A partir desta peça, ele precisa extrair o maior quadrado possível, de tal forma que um dos ângulos retos do quadrado coincida com o ângulo reto do triângulo. A medida do lado do quadrado desejado pelo marceneiro está mais próxima de

a) 8 cm.

b) 8,5 cm.

c) 9 cm.

d) 9,5 cm.

e) 10 cm.

RESOLUÇÃO:

Para entender melhor o que temos que fazer, vamos desenhar. Veja:

imagem 1 exercicio 1

Veja que temos que descobrir a medida dos lados do quadrado. Nesse caso, vamos chamá-los de x. Como é um quadrado, todos os ângulos internos valem 90º.

Repare que o triângulo formado acima do quadrado compartilha os mesmos ângulos com o triângulo grande. Com isso, podemos montar uma relação de semelhança.

De acordo com a figura: ΔBEF ~ ΔBAC.

Vamos aplicar a proporção:

imagem 2 exercicio 1

Agora basta multiplicar cruzado. Chegaremos a:

imagem 3 exercicio 1

x ≅ 8,9 cm

RESPOSTA: C

QUESTÃO 2

(Famema) A figura mostra o triângulo retângulo ABC, de hipotenusa AB = 10 cm, = com o ângulo ABC = 30º e o ponto D sobre o lado BC.

imagem 1 exercicio 2

Sabendo que AD é bissetriz do ângulo BAC, o valor da razão é

imagem 2 exercicio 2

RESOLUÇÃO:

Se AD é uma bissetriz, isso significa que ela divide o ângulo em duas partes iguais.

Isso posto, repare que podemos usar o ângulo de 30º do triângulo maior para descobrir o cateto oposto (do lado CA, que vamos chamar de x):

imagem 3 exercicio 2
imagem 4 exercicio 2

x = 5 cm

Agora, vamos usar o teorema da bissetriz interna. Ele nos diz que:

imagem 5 exercicio 2
imagem 6 exercicio 2

Vamos ajustar para chegar no que a questão nos pede:

imagem 7 exercicio 2

RESPOSTA: E

QUESTÃO 3

(Ufu) Uma área delimitada pelas Ruas 1 e 2 e pelas Avenidas A e B tem a forma de um trapézio ADD’A’, com AD = 90 m e A’D’ = 135 m, como mostra o esquema da figura abaixo.

imagem 1 exercicio 3

Tal área foi dividida em terrenos ABB’A’, BCC’B’ e CDD’C’, todos na forma trapezoidal, com bases paralelas às avenidas tais que AB = 40 m, BC = 30 m e CD = 20 m.

De acordo com essas informações, a diferença, em metros, A’B’ − C’D’ é igual a

a) 20.

b) 30.

c) 15.

d) 45.

RESOLUÇÃO:

Para facilitar, vamos chamar A’B’ de x e C’D’ de y. Note bem que temos um teorema de Tales formado:

imagem 2 exercicio 3

Multiplicando em cruz:

x = 60 m

Agora para y:

imagem 3 exercicio 3

y = 30 m

x – y = 60 – 30 = 30 m

RESPOSTA: B

QUESTÃO 4

(Ufpr) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.

imagem 1 exercicio 4

A altura do suporte em B é, então, de:

a) 4,2 metros.

b) 4,5 metros.

c) 5 metros.

d) 5,2 metros.

e) 5,5 metros.

RESOLUÇÃO:

Toda vez que temos um trapézio, podemos dividi-lo em duas figuras: um triângulo e um retângulo. Note a linha vermelha:

imagem 2 exercicio 4

Note que a única medida que não conhecemos é a altura do triângulo de cima à esquerda. Vamos chamar de x.

Podemos, então, aplicar a relação de semelhança, já que eles compartilham os mesmos ângulos:

ΔDFH ~ ΔDEG

imagem 3 exercicio 4

x = 1,2 m

x + 4 = 1,2 + 4 = 5,2 m

RESPOSTA: D

QUESTÃO 5

(Ueg) Três ruas paralelas são cortadas por duas avenidas transversais nos pontos A, B e C da Avenida 1 e nos pontos D, E e F da Avenida 2, de tal forma que AB = 90 m, BC = 100 m, DE = x e EF = 80 m.

Nessas condições, o valor de x é

a) 62 m

b) 60 m

c) 72 m

d) 74 m

e) 68 m

RESOLUÇÃO:

Temos que desenhar:

imagem 4 exercicio 4

Fazendo a relação:

imagem 5 exercicio 4

x = 72 m

RESPOSTA: C

Para aprender mais

Assista à aula abaixo com a resolução desses exercícios para aprender, de uma vez por todas, sobre Semelhança e Teorema de Tales.

Espero que você tenha entendido melhor sobre Semelhança e Teorema de Tales. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!

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