Olá, pessoal! Neste post vamos falar mais sobre probabilidade e como podemos calcular os diferentes tipos de problema que podem aparecer na sua prova. No final do conteúdo, vamos resolver juntos alguns exercícios sobre o tema. Acompanhe e faça bons estudos!
O que é probabilidade e como calculá-la?
Antes de chegarmos na definição de probabilidade, precisamos entender o que é um Espaço Amostral.
Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Um exemplo de experimento aleatório é o lançamento de uma moeda. Seu espaço amostral é:
Ω = {Cara , Coroa}
Já o número de elementos do espaço amostral é dado por n(Ω) = 2.
Na Matemática, a probabilidade pode ser calculada da seguinte maneira:
Devemos lembrar que quando escrevemos P(A), estamos falando da Probabilidade de ocorrência de um Evento A. Entende-se por evento qualquer subconjunto que pode ser obtido desse espaço amostral. O número de casos favoráveis é o número de elementos do conjunto A. Já o número de casos possíveis é o número de elementos do espaço amostral.
Para simplificar as coisas: imagine que, no lançamento de uma moeda, desejamos obter a face CARA. Assim, o evento é dado por A = {Cara} com n(A) = 1 e o Espaço amostral é dado por Ω = {Cara , Coroa} com n(Ω) = 2.
Logo, a probabilidade de obter face CARA é dada por:
p(A) = ½
Outro exemplo: ao jogar um dado convencional (6 faces numeradas de 1 até 6), qual é a probabilidade de obter a face com o número 5? Repare que, aqui, o experimento aleatório é o ato de jogar o dado, e o evento com que estamos trabalhando é justamente conseguir tirar a face cinco do dado.
De acordo com a fórmula que vimos acima, ‘número de casos favoráveis’ se refere ao evento que queremos. Em nosso exemplo, seria 1, pois queremos tirar apenas uma das faces do dado.
Já ‘número de casos possíveis’ se refere a todos os resultados que podem acontecer. Em um dado convencional, temos 6 faces, que são nossas possibilidades.
Note, agora, que toda probabilidade acontece em um intervalo fechado: 0 ≤ P(A) ≤ 1, em que 0 significa que se trata de um evento impossível de acontecer, e 1 é a certeza de que irá ocorrer.
Vamos ver um exemplo de um problema simples:
Qual é a probabilidade de obter soma 8 no lançamento de dois dados convencionais?
Vamos por partes:
O número de casos possíveis vai ser dado pelo espaço amostral. Temos 6 possibilidades em cada dado. Nessa situação, o espaço amostral será determinado pelo produto entre os eventos decorrentes de cada universo de resultados possíveis em cada dado. Então: n(Ω) = 6 x 6. Ou seja, temos 36 casos possíveis. Esta é a parte de baixo da nossa fórmula.
A parte de cima, que é o número de casos favoráveis, é um pouco mais difícil de encontrar. Para a soma ser 8 nos dois dados, devemos pensar nas possibilidades: (2,6); (6,2); (3,5); (5,3); (4,4). Repare que quando falamos de (4,4), devemos considerar apenas uma vez, pois não temos como diferenciar. Sendo assim, temos 5 casos em que, jogando dois dados, podemos obter a soma 8.
Portanto, voltando à nossa equação, a probabilidade (P) de termos soma 8 ao jogar dois dados (A) pode ser expressada da seguinte forma:
P(A) = 5/36
Outras fórmulas importantes para o seu estudo:
Quando temos dois eventos aleatórios e independentes (A e B), o resultado de um não influencia no outro. Assim,
P (A∩B) = P (A) · P (B)
Já a Probabilidade da união, que trata da probabilidade de ocorrência de A ou B é dada por:
P (AՍB) = P (A) + P (B) – P (A∩B)
Além disso, temos também a chamada probabilidade condicional, que se refere à probabilidade do evento A acontecer uma vez que B já aconteceu:
E, por fim, temos a probabilidade complementar, ou seja, qual é a chance do evento A não acontecer:
P = 1 – P(A)
Exercícios resolvidos de probabilidade
Questão 1
(Famema) A figura indica as marcações na frente e no verso de três cartas:
Sorteando-se aleatoriamente o lado que cada carta ficará voltada para cima em uma mesa, a probabilidade de que pelo menos uma das cartas tenha a letra M voltada para cima é igual a
a) 3/5
b) 2/3
c) 5/8
d) 3/4
e) 1/2
RESOLUÇÃO:
Temos que calcular o número de casos possíveis e, depois, o número de casos favoráveis.
Veja que temos 3 cartas com duas possibilidades cada. Portanto, o número de casos possíveis (espaço amostral) será: 2 x 2 x 2 = 8. Observe, porém, que, seguindo o que nos diz o enunciado, não queremos, em hipótese alguma, combinações que não tenham ao menos uma letra M.
Colocando em detalhes:
Casos possíveis sem M: 2 x 1 x 1 = 2
Então:
P(não M) = 28 = 14
Atenção: essa não é a probabilidade que estamos buscando. Precisamos de pelo menos um M. Então, devemos utilizar o cálculo de probabilidade complementar:
P = 1 – 14 = 4 – 14 = 34
RESPOSTA: D
Questão 2
(Unicamp) Um dado não tendencioso de seis faces será lançado duas vezes. A probabilidade de que o maior valor obtido nos lançamentos seja menor do que 3 é igual a
a) 1/3
b) 1/5
c) 1/7
d) 1/9
RESOLUÇÃO:
O enunciado não é muito claro. Entenda: jogaremos o dado duas vezes. O que queremos é que os resultados sejam sempre menores do que 3. Note que ele não está falando da soma das faces, mas o número mostrado em cada lado do dado.
Então, as combinações possíveis são: (1,1); (1,2); (2,1); (2,2). Vamos nos atentar que temos dois dados. Portanto, nosso espaço amostral se dará por: 6 x 6 = 36.
Assim:
P = 436 = 19
RESPOSTA: D
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Espero que você tenha entendido melhor como Calcular probabilidade e como resolver os exercícios que caem nos principais vestibulares. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
