Quadriláteros são figuras geométricas de quatro lados. Os mais importantes e suas características são:
Paralelogramo: os lados opostos são paralelos, seus ângulos opostos são congruentes e os não opostos são suplementares (somam 180º).
Sua área calcula-se por:
A = b. h
Retângulo: os ângulos medem 90º e os pares de lados opostos são iguais. A área também é dado por:
A = b. h
Losango: possui os quatro lados com mesma medida. Suas diagonais formam um ângulo reto (90º). A área do losango depende da diagonal maior (D) e da menor (d):
Quadrado: também possui quatro lados iguais, com ângulos internos de 90º. O encontro das diagonais do quadrado formam ângulos retos (note que um quadrado é um losango!).
O cálculo da área dá-se pelo quadrado dos lados:
A = L²
Trapézio: possuem apenas um par de lados paralelos (base menor e base maior). Sua área envolve a base maior (B), a base menor (b), a altura e os lados:
Lembrando que o perímetro (P) dos quadriláteros é obtido pela soma dos quatro lados.
Exercícios sobre quadriláteros
QUESTÃO 1
(IFSUL) Considere a figura:
A área da região hachurada, em cm² , é
RESOLUÇÃO:
Veja que o triângulo formado na imagem é um triângulo retângulo. O lado que não conhecemos (hipotenusa), que é o mesmo lado do quadrado da imagem, vamos chamar de x.
A região hachurada é a parte cinza do desenho. Note que essa figura nada mais é do que uma circunferência. Para encontrar essa área, temos que fazer alguns cálculos envolvendo o triângulo e o quadrado da figura.
É mais fácil começarmos pelo triângulo retângulo:
x² = 8² + 6²
x = 10 cm
Esse valor da hipotenusa é o mesmo dos lados do quadrado da imagem. Feito isso, repare que a figura que nos dá a região hachurada não é uma circunferência completa. Temos apenas três porções do que seria essa forma geométrica.
Assim, podemos calcular a área dessa circunferência inteira, descontar a área do quadrado e, depois, considerar apenas três quartos dela. Só que para calcular a área dessa circunferência, precisamos conhecer seu raio.
Veja que o diâmetro do círculo nada mais é do que a diagonal do quadrado. E, como vimos, essa medida é calculada por: d = l√2. Nesse caso, portanto: d = 10√2. Como esse é o diâmetro da circunferência, o raio é metade disso: R = 5√2
Assim, já podemos calcular a área que buscamos. Lembrando: três quartos da área da circunferência menos a área do quadrado:
RESPOSTA: B
QUESTÃO 2
(ESPM) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e ADE é um quadrante de círculo de centro D. Se o lado AB e o arco AE têm comprimentos iguais a π cm, a medida da área sombreada, em cm² , é:
RESOLUÇÃO:
Note que a área sombreada é um quarto de uma circunferência. Sabemos que o comprimento de uma volta completa ao redor de um círculo equivale a 2πR. Se damos apenas um quarto de uma volta, teremos que o arco AE (que vale π) será:
Vamos descobrir o valor do raio, isolando R:
R = 2 cm
Observe que 2 cm é o tamanho dos segmentos AD e ED. Agora, basta calcular a área do retângulo e subtrair a área do quarto de círculo que temos:
AR = b . h = π .2 = 2π cm²
AC = π cm²
Portanto, a área sombreada será:
AR – AC
2π – π = π cm²
RESPOSTA: B
QUESTÃO 3
(IFSP) Considerando que as medidas de dois ângulos opostos de um losango são dadas, em graus, por 3x + 60° e 135° – 2x, a medida do menor ângulo desse losango é
a) 75°.
b) 70°.
c) 65°.
d) 60°.
e) 55°.
RESOLUÇÃO:
Vamos desenhar para entender melhor:
Vamos lembrar que, no losango, os ângulos opostos são iguais. Ou seja, podemos igualar os dois ângulos que a questão nos deu:
3x + 60 = 135 – 2x
x = 15º
Vamos substituir:
3x + 60 = 3 . 15 + 60 = 105º
Como os ângulos opostos são iguais, já sabemos que o ângulo de baixo também vale 105º. Agora, basta lembrarmos que os ângulos que se seguem são suplementares, ou seja, somam 180º. Ou seja, α = 75º.
RESPOSTA: A
QUESTÃO 4
(CFTRJ) Quais são, respectivamente, as medidas dos ângulos X e Y na figura abaixo, sabendo que E é o ponto médio do segmento AD e que BCDE é um losango?
RESOLUÇÃO:
Primeira informação: se E é ponto médio de AD, isso significa que ele divide o segmento pela metade. Como temos um losango (BCDE), isso significa que todos os lados são iguais, isto é, todos têm a mesma medida de DE.
Vamos lembrar do exercício anterior: os ângulos que se seguem são suplementares. Ou seja:
y = 68º
Para descobrir x, temos que reparar que o triângulo da figura é do tipo isósceles, pois tem dois lados iguais (EB e EA). Assim, podemos dizer que ele também possui dois ângulos iguais. Nesse caso, o ângulo de cima (no vértice B) também valerá x.
A partir disso, vamos lembrar que, toda vez que temos um ângulo externo em um triângulo, ele será igual à soma dos outros dois ângulos internos não adjacentes (que não fazem fronteira com ele). Nessa figura, ambos são x.
Sendo assim:
x + x = 68º
x = 34º
QUESTÃO 5
(UDESC) No paralelogramo ABCD, conforme mostra a figura, o segmento CE é a bissetriz do ângulo DCB.
Sabendo que AE = 2 e AD = 5, então o valor do perímetro do paralelogramo ABCD é:
a) 26
b) 16
c) 20
d) 22
e) 24
RESOLUÇÃO:
Se CE é a bissetriz do ângulo DCB, isso significa que ele divide o ângulo formado naquele canto da figura exatamente ao meio. Vamos chamar cada metade de θ.
Observe agora os lados de cima e de baixo do paralelogramo são, obviamente, paralelas. Quando temos duas retas paralelas cortadas por uma transversal, teremos ângulos alternos e internos. Assim, o ângulo que se forma no ponto E também vale θ.
Repare que temos, então, um triângulo isósceles, isto é, os lados EB e BC são iguais. E como temos um paralelogramo, AD será igual a BC. Portanto, BC = 5. Seguindo: se EB tem a mesma medida de BC, também temos que EB = 5.
Dessa forma, descobrimos que DC = 7. Para calcular o perímetro, basta somar os lados:
5 + 7 +5 + 7 = 24
RESPOSTA: E
Para aprender mais
Assista à aula abaixo com a resolução desses exercícios para aprender, de uma vez por todas, sobre quadriláteros.
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