A equação do 2º grau é aquela que pode ser genericamente escrita como: ax² + bx +c = 0.
A resolução desse tipo de equação geralmente envolve a chamada fórmula de Bháskara:
Para resolvê-la, precisamos encontrar o valor de delta, que é calculado por:
Δ = b² – 4 . a . c
Em algumas ocasiões, é mais prático resolver pela propriedade da soma e produto, que nos traz que:
Equação do 2º grau: exercícios resolvidos
QUESTÃO 1
(G1 – cp2) Luíza estava brincando com seu joguinho no celular, no qual uma serpente deve comer os insetos que aparecem na tela. No início do jogo, a serpente é formada por um retângulo de dimensões x mm por (5x + 12) mm e, a cada inseto que come, ela aumenta o seu tamanho em um quadrilátero de área 10 mm². Após comer 8 insetos, a serpente, totalmente esticada, representa um retângulo de área 112 mm².
As dimensões da serpente, em milímetros, no início do jogo são, respectivamente, iguais a
a) 1,6 e 20,0.
b) 2,0 e 22,0.
c) 3,6 e 30,0.
d) 4,0 e 32,0.
RESOLUÇÃO:
Como um retângulo é calculado por base vezes altura, teremos:
(5x + 12) . x
Conforme a cobra come insetos, ela aumenta. Como ela come 8 e aumenta 10 mm², vamos somar:
(5x + 12) . x + 10 . 8 = 112
Agora basta aplicar a distributiva:
5x² + 12x – 32 = 0
Temos uma equação de segundo grau pronta para usar Bhaskara. Antes, vamos calcular o delta:
Δ = b² – 4 . a . c
Δ = 12² – 4 . 5 . (-32)
Δ = 784
Repare que este número tem raiz quadrada exata: 28. Então, podemos seguir para Bhaskara:
Os dois valores seriam:
x1 = 1,6
x2 = -4
Note que o x2 não convém, pois estamos com medida e, portanto, ela não pode ser um número negativo. Então, vamos utilizar o x1.
Observe todas as alternativas e veja que não precisamos perder tempo com o restante da questão.
RESPOSTA: A
QUESTÃO 2
(G1 – ifpe) Um grupo de alunos do curso de mecânica decidiu comprar juntos um torno mecânico para montar uma oficina assim que se formassem. O valor de R$ 3.600,00 seria igualmente dividido por todos. Devido a alguns problemas financeiros, oito alunos que estavam no grupo desistiram, e a parte que cada um do grupo deveria pagar aumentou R$ 75,00.
Quantos alunos faziam parte do grupo inicialmente?
a) 20 alunos.
b) 16 alunos.
c) 18 alunos.
d) 24 alunos.
e) 12 alunos.
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de x a quantidade de alunos e y o valor que cada pessoa pagará:
Como diminuiu o número de pessoas e houve um acréscimo no valor, temos que refazer a equação:
Essas duas equações nos permitem montar um sistema. Então vamos substituir em uma das equações. vamos pegar a primeira equação e colocar na segunda:
Para simplificar nossas contas, vamos dividir tudo por 75:
Vamos tirar o MMC:
Multiplicando em x, chegaremos a:
x² – 8x – 384 = 0
Vamos para Bhaskara. Calculando o delta:
Δ = b² – 4 . a . c
Δ = 8² – 4 . 1 . (-384)
Δ = 1600
x1 = 24
x2 = -16
Observando o exercício, vemos que estamos tratando de quantidade de pessoas, ou seja, não podemos usar um número negativo. Vamos utilizar x1.
RESPOSTA: D
QUESTÃO 3
3. (G1 – ifsul) Um móvel de R$ 360,00 deveria ser comprado por um grupo de rapazes que contribuíram em partes iguais. Como 4 deles desistiram, os outros precisaram aumentar a sua participação em R$ 15,00 cada um.
Qual era a quantidade inicial de rapazes?
a) 8
b) 12
c) 15
d) 20
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de y a quantidade que cada um deve pagar e x a quantidade de rapazes:
Com a desistência de alguns rapazes e o acréscimo do valor:
Novamente temos um sistema. Vamos substituir:
Dividindo tudo por 15:
Tirando o MMC:
Multiplicando em cruz:
x² – 4x – 96 = 0
Agora, o delta:
Δ = b² – 4 . a . c
Δ = (-4)² – 4 . 1 . (-96)
Δ = 400
Por fim, Bhaskara:
x1 = 12
x2 = -8
Mais uma vez, não podemos assumir o valor negativo.
RESPOSTA: B
QUESTÃO 4
(G1 – utfpr) O(s) valor(es) de m para que a equação x² + mx + 3 = 0 tenha apenas uma raiz real é(são):
a) 0.
b) ±4.
c) 12.
d) ±2√3.
e) inexistente para satisfazer esta condição.
RESOLUÇÃO:
Como temos que encontrar apenas uma raiz real, isso significa que temos que chegar a Δ = 0.
Lembrando que Δ = b² – 4 . a . c.
m² – 4 . 1 . 3 = 0
m² = 12
m = ±√12
Temos que simplificar, fatorando o 12. Assim, chegaremos a:
m = ±2√3
RESPOSTA: D
QUESTÃO 5
(G1 – utfpr) Fulano vai expor seu trabalho em uma feira e recebeu a informação de que seu estande deve ocupar uma área retangular de 12 m² e perímetro igual a 14 m. Determine, em metros, a diferença entre as dimensões que o estande deve ter.
a) 2.
b) 1,5.
c) 3.
d) 2,5.
e) 1.
RESOLUÇÃO:
Temos um retângulo de lados x e y. A partir disso:
Área: x . y = 12
Perímetro: 2x + 2y = 14 → x + y = 7
Temos um sistema. Ou seja, vamos substituir uma na outra, isolando y na segunda equação e substituindo na primeira:
x . (7 – x) = 12
x² – 7x + 12 = 0
Nesse caso, não vamos usar Bhaskara, mas soma e produto:
x1 + x2 = 7
x1 . x2 = 12
Observando já podemos encontrar os dois valores:
x1 = 3; x2 = 4
Se y = 7 – x, se considerarmos o x1, o valor de y seria 4. Por outro lado, se usarmos x2, o y seria 3. Ambos os resultados são válidos, pois chegaremos à mesma resposta: 1
RESPOSTA: E
Para aprender mais
Assista à aula abaixo com a resolução desses exercícios para aprender, de uma vez por todas, sobre equação do 2º grau.
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