O triângulo é a figura geométrica com três lados. Trata-se do polígono mais simples, pois é aquele que possui o menor número de lados.
A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º. Com isso, temos três classificações:
- Triângulo retângulo: possui um ângulo reto;
- Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos agudos;
- Triângulo obtusângulo: possui um ângulo obtuso.
Além disso, temos as classificações quanto aos lados:
- Triângulo equilátero: todos os lados são iguais.
- Triângulo isósceles: dois lados iguais.
- Triângulo escaleno: todos os lados são diferentes.
A área do triângulo é calculada pela multiplicação da base (b) pela altura (h), dividindo-as por 2:
Isso posto, o tipo de triângulo mais cobrado em provas é o triângulo retângulo. Isso porque, com ele, geralmente vamos utilizar o teorema mais famoso da Matemática: o teorema de Pitágoras.
Ele nos diz que “a soma do quadrado dos catetos (a e b) é sempre igual ao quadrado da hipotenusa (c)”:
a² + b² = c²
Os triângulos na Matemática nos trazem também a outro teorema muito usado: o teorema de Tales. Ele estabelece que “um feixe de retas paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais”:
Tales estabelece uma relação de proporcionalidade, que nos permite comparar esses segmentos. Por exemplo:
Exercícios sobre triângulo
QUESTÃO 1
(Enem PPL) A unidade de medida utilizada para anunciar o tamanho das telas de televisores no Brasil é a polegada, que corresponde a 2,54 cm. Diferentemente do que muitos imaginam, dizer que a tela de uma TV tem X polegadas significa que a diagonal do retângulo que representa sua tela mede X polegadas, conforme ilustração.
O administrador de um museu recebeu uma TV convencional de 20 polegadas, que tem como razão do comprimento (C) pela altura (A) a proporção 4 : 3, e precisa calcular o comprimento (C) dessa TV a fim de colocá-la em uma estante para exposição.
A tela dessa TV tem medida do comprimento C, em centímetro, igual a
a) 12,00.
b) 16,00.
c) 30,48.
d) 40,64.
e) 50,80.
RESOLUÇÃO:
Trazendo as informações do enunciado:
x = 20 pol
Antes de seguirmos, é interessante isolarmos uma das variáveis nessa proporção acima. Como a questão nos pede para descobrir o valor de c, vamos isolá-lo. Para isso, vamos multiplicar cruzado:
3c = 4a
Repare que na figura temos um triângulo retângulo, ou seja, podemos aplicar Pitágoras:
x² = a² + c²
16² = c²
c = 16 pol
Agora, basta converter em centímetros:
c = 16 . 2,54 = 40,64
RESPOSTA: D
QUESTÃO 2
(IFBA) Abaixo estão duas retas paralelas cortadas por duas transversais e um triângulo retângulo.
a) 48
b) 58
c) 32
d) 16
e) 28
RESOLUÇÃO:
Na primeira figura podemos aplicar o teorema de Tales:
Vamos multiplicar cruzado:
7x = 2x + 20
5x = 20
x = 4
Com o valor de x, já podemos usar Pitágoras no triângulo:
8² = 4² + y²
64 = 16 + y²
y² = 48
Veja que não precisamos seguir adiante, já que o exercícios nos pediu a área de um quadrado com lado y. Vamos lembrar que o cálculo da área de um quadrado é justamente L², ou seja, y².
RESPOSTA: A
QUESTÃO 3
(UFU) Uma área delimitada pelas Ruas 1 e 2 e pelas Avenidas A e B tem a forma de um trapézio ADD’A’, com AD = 90 m e A’D’ = 135 m, como mostra o esquema da figura abaixo.
Tal área foi dividida em terrenos ABB’A’, BCC’B’ e CDD’C’, todos na forma trapezoidal, com bases paralelas às avenidas tais que AB = 40 m, BC = 30 m e CD = 20 m. De acordo com essas informações, a diferença, em metros, A’B’ – C’D’ é igual a
a) 20.
b) 30.
c) 15.
d) 45.
RESOLUÇÃO:
Se AB = 40, BC = 30 e CD = 20, então temos que a distância AD = 90 m. Da mesma forma, A’D’ = 135 m.
Temos um Teorema de Tales, mas “virado de lado”. Vamos chamar A’B’ de x e C’D’ de y. Veja que x está para 40, assim como 135 está para 90. Então:
Multiplicando cruzado:
x = 60 m = A’B’
Seguindo a mesma lógica:
y = 30 m
Portanto:
60 – 30 = 30 m
RESPOSTA: B
QUESTÃO 4
(IFPE) Em um dia ensolarado, às 10h da manhã, um edifício de 40 metros de altura produz uma sombra de 18 metros. Nesse mesmo instante, uma pessoa de 1,70 metro de altura, situada ao lado desse edifício, produz uma sombra de
a) 1,20 metro.
b) 3,77 metros.
c) 26,47 centímetros.
d) 76,5 centímetros.
e) 94 centímetros.
RESOLUÇÃO:
Neste exercício, é fundamental fazer o desenho com os dados que o enunciado nos traz:
Resolvermos por triângulos semelhantes, pois temos os mesmos 90º e a mesma inclinação do sol. Então:
40x = 30,6
x = 0,765 m = 76,5 cm
RESPOSTA: D
QUESTÃO 5
(UEFS) Os pontos D, E e F pertencem aos lados de um triângulo retângulo ABC, determinando o retângulo BFDE, com BF = 6 cm, conforme mostra a figura.
Dadas as medidas AB = 8 cm e BC = 10 cm, o comprimento do segmento BE é
a) 2,4 cm.
b) 2,7 cm.
c) 3 cm.
d) 3,2 cm.
e) 3,5 cm.
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar BE de x. Se BF = 6, então ED = 6 também. Continuando, FC = 4.
Repare que temos um grande triângulo retângulo formado por A, B e C. Mas veja que o retângulo dentro desse triângulo forma outros dois triângulos retângulos: AED e DFC.
Como BE = DF, vamos resolver a questão por semelhança entre triângulos. E temos algumas opções. Vamos comparar o triângulo DFC com o ABC:
10x = 32
x = 3,2 cm
RESPOSTA: D
Para aprender mais
Assista à aula abaixo com a resolução desses exercícios para aprender, de uma vez por todas, sobre tipos de triângulos e suas características.
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