Fala, galera, tudo certo? Neste post vamos resolver juntos algumas questões sobre trigonometria. Separei questões dos principais vestibulares do Brasil, como Fuvest, Unicamp e Enem, que vão ajudar você a se preparar bem para qualquer prova. Vamos lá?
Exercícios sobre Trigonometria
Questão 1
(Enem) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra.
A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função , onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro.
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é
a) janeiro.
b) abril.
c) junho.
d) julho.
e) outubro.
RESOLUÇÃO:
Repare que o enunciado nos informa que a produção máxima vai ocorrer quando os preços são mais baixos. Aqui é preciso tomar cuidado porque a função dada pela questão é a função do preço, sempre considerando que x é o mês do ano.
Então, se queremos que a produção seja máxima, temos que calcular o menor preço possível. Para isso, precisamos transformar essa função em uma fórmula que nos forneça o valor mínimo possível. Nesse caso, isso ocorrerá quando o cosseno for igual a -1. Isso porque, vamos lembrar, -1 é o menor valor possível para o cosseno (-1 ≤ cos x ≤ 1).
Vamos lembrar agora o círculo trigonométrico. O cosseno será máximo o ângulo 0 e mínimo em π (180º). Então, para encontrar o valor mínimo, tudo o que está dentro do parênteses na função deve valer π.
Portanto:
πx – π / 6 = π
6π = πx – π
7π = πx
x = 7
O mês 7 do calendário é julho.
RESPOSTA: D
Questão 2
(Unesp) Determine o período da função f(θ) dada pela lei de formação
Quando falamos em função trigonométrica temos que lembrar que o período dessa função é determinado usando o número que multiplica a incógnita. Nesse caso, 2/3.
A fórmula do período (P) é a seguinte:
P = 2π / |C|
No caso, C é justamente o número que multiplica a incógnita. Então:
P = 2π / |2/3|
P = 3π
Questão 3
(Unicamp) Seja x real tal que cos x tg x.= O valor de sen x é
RESOLUÇÃO:
Devemos lembrar que tangente é igual à divisão do seno pelo cosseno. Portanto:
cos x = sen x / cos x
cos² x = sen x
Toda vez que mexermos com seno e cosseno e aparecer um dos elementos elevado ao quadrado, temos que utilizar a relação fundamental da trigonometria: sen² x + cos² x = 1
Podemos mudar para utilizar na equação que encontramos acima:
cos² x = 1 – sen² x
Assim:
cos² x = sen x
1 – sen² x = sen x
sen² x + sen x – 1 = 0
Repare: temos uma equação de segundo grau (x² + x – 1 = 0). Agora, vamos encontrar a, b e c e calcular Δ. Sendo assim:
a = 1
b = 1
c = 1
Δ = b² – 4ac
Δ = 1² – 4 . 1 (-1)
Δ = 5
Observe agora:
sen x = -b ± √Δ / 2a
sen x = -1 ± √5 / 2 . 1
Lembre-se de que o seno assume dois valores. Portanto:
1) sen x = -1 – √5 / 2
2) sen x = -1 + √5 / 2
Temos que cancelar uma das fórmulas, isto é, uma delas não serve como resposta. Nesse caso, temos que considerar que √5 vale, aproximadamente, 2,2. No primeiro resultado do seno, devido aos sinais, chegaríamos a um valor menor do que -1. E isso é impossível, pois o seno sempre vale entre -1 e 1. Portanto, o resultado possível é o segundo valor do valor.
RESPOSTA: C
Questão 3
(Fuvest) Sejam α e β números reais com -π/2 < α < π/2 e 0 < β < πSe o sistema de equações, dado em notação matricial
,
for satisfeito, então α + β é igual a
a) -π/3
b) -π/6
c) 0
d) π/6
e) π/3
RESOLUÇÃO:
A primeira coisa que temos que fazer é multiplicar as matrizes.
Lembre-se que, para isso, temos que multiplicar linha por coluna. Logo, para a primeira linha, obtemos a seguinte equação:
3 tg α + 6 cos β = 0
Depois, temos que repetir a lógica com a linha de baixo da primeira matriz!
6 tg α + 8 cos β = -2√3
As duas equações formam um sistema, que temos que resolver. Para facilitar, podemos simplificar as equações. E podemos tomar decisões arbitrárias. Nesse caso, vamos dividir a primeira equação por 3 e a segunda por 2. Ficaremos com:
tg α + 2 cos β = 0
3 tg α + 4 cos β = -√3
Agora que limpamos a equação, vamos cancelar algum elemento no sistema. Aqui, vamos utilizar o método da adição para cancelar a tangente. Para isso, vamos multiplicar a primeira equação por -3 e somá-la à segunda. Ficaremos com:
-2 cos β = -√3
Vamos arrumar:
cos β = √3/2
E qual é o cosseno que vale √3/2? Temos, então, que β = 30º.
Em seguida, precisamos encontrar o ângulo α. Basta substituir o cos β no sistema:
tg α + 2 cos β = 0
tg α + 2 . √3/2 = 0
tg α = -√3
Se a tangente fosse positiva e valesse √3, qual ângulo teríamos no primeiro quadrante? Seria 60º! Mas veja que temos uma tangente negativa. Sabemos que a tangente é negativa no segundo e quarto quadrantes. Logo, teríamos como possibilidade 120° e 300°. O intervalo que o enunciado nos traz é -π/2 < α < π/2 ou -90° < α < 90°. Assim, o ângulo a ser considerado é o 300° ( -60°) que em radianos é -π/3.
Transformando o beta para radianos, temos:
β = 30º
β = π/6
Para finalizar:
α + β
-π/3 + π/6
-π/6
RESPOSTA: B
Para aprender mais:
Espero que você tenha entendido melhor a lógica que você deve utilizar para resolver exercícios sobre trigonometria. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
