Fala, pessoal, tudo certo? Neste post, vamos resolver juntos algumas questões sobre Geometria Plana. Separei exercícios da Unicamp e do Enem, que dão uma boa base para resolver qualquer prova pelo País. Bons estudos!
Exercícios sobre geometria plana
Questão 1
(Unicamp) A figura abaixo exibe o triângulo ABC, em que AB = BC e AD é uma altura de comprimento h. A área do triângulo ABC é igual a
a) h²
b) √2h²
c) √3h²
d) 2h²
RESOLUÇÃO:
Pelo enunciado já podemos concluir que se trata de um triângulo isósceles. Afinal, o AB = BC.
Agora repare que a questão nos diz que h é altura. Vamos lembrar que a altura forma um ângulo de 90º com a base.
Sabemos que para calcular a área de qualquer triângulo temos que usar a fórmula de
b . h / 2. No entanto, aqui temos que tomar alguns cuidados: nós não sabemos quanto vale AB e BC. Só conhecemos os dois ângulos.
Porém, repare que todas as alternativas da questão estão em função de h. Então, temos que mexer com os dados que temos já considerando que o h estará na resposta.
Pois bem. Veja o triângulo retângulo formado por ABD. Sendo assim, podemos usar funções trigonométricas. Como temos os ângulos, podemos tentar descobrir a hipotenusa (nesse caso, AB).
Sabemos que seno se calcula por cateto oposto pela hipotenusa. Ou seja:
sen 30º = h / AB
1 / 2 = h / AB
Como temos uma igualdade entre razões, podemos simplesmente multiplicar cruzado. Então:
AB = 2h
Sabemos que AB é igual a BC, portanto, BC = 2h
AABC = b . h / 2
AABC = 2h . h / 2
AABC = h²
RESPOSTA: A
Questão 2
(Enem) Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado altamente simbólico no Japão. A base do origami é o conhecimento do mundo por base do tato. Uma jovem resolveu construir um cisne usando a técnica do origami, utilizando uma folha de papel de 18 cm por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha conforme a figura.
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE é
a) 2√22 cm
b) 6√3 cm
c) 12 cm
d) 6√5 cm
e) 12√2 cm
RESOLUÇÃO:
Veja:
Repare que a parte que foi dobrada para dentro corresponde às linhas em cinza no desenho. Note também que o pedacinho de linha cinza entre E e F que foi dobrado vai ter o mesmo tamanho que o segmento ED.
Portanto, se a folha é retangular e o lado de cima tem 18 cm, podemos concluir que EF = 6 cm, assim como ED. Da mesma forma, descobrimos que o segmento AD tem a mesma medida do segmento AF, ou seja, 12 cm.
Veja, agora, que temos dois lados do triângulo retângulo que se formou no interior da figura. Basta utilizarmos Pitágoras:
x² = 6² + 12²
x² = 36 + 144
x² = 180
x = √180
Para descobrir o resultado, temos que fatorar o 180. Ao fazer isso, chegaremos a:
x = 2 . 3 √5
x = 6√5
RESPOSTA: D
Questão 3
(Unicamp) No triângulo ABC exibido na figura a seguir, AD é a bissetriz do ângulo interno em A, e AD = DB.
O ângulo interno em A é igual a
a) 60º
b) 70º
c) 80º
d) 90º
RESOLUÇÃO:
Vamos lembrar que a bissetriz divide o ângulo ao meio. Nesse caso, a bissetriz AD vai dividir o ângulo do vértice A em dois ângulos iguais a α. Logo, o ângulo do vértice A é 2α.
Repare que nos foi informado que AD = DB. Ou seja, o triângulo ABD é isósceles. Quando isso acontece, sabemos que o triângulo de dois lados iguais também tem dois ângulos iguais. Ou seja, o ângulo no vértice B também é α.
Agora que fizemos isso, devemos observar o triângulo maior ABC. Temos que o vértice C vale 60º, B vale α e A vale 2α. Vamos lembrar que, em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos deve ser igual a 180º.
Portanto:
2α + 60 + α = 180º
3α = 120º
α = 40º
Se A = 2α, então A = 80º.
RESPOSTA: C
Questão 4
(Enem) Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um círculo com diâmetro medindo 6 m, é cercado por grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente. O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para pavimentar mais 100 m² de área.
O síndico do condomínio irá avaliar se esse material disponível será suficiente para pavimentar a região a ser ampliada.
Utilize 3 como aproximação para π.
A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em estoque
a) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 21m².
b) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 24 m².
c) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 48 m².
d) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 108 m².
e) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120 m².
RESOLUÇÃO:
Veja que o enunciado nos dá o diâmetro de 6 m. Como o diâmetro vale o dobro do raio, então temos que o raio vale 3 m.
Depois, a questão nos diz que a área será expandida e o diâmetro será aumentado em 8 m, ou seja, o novo diâmetro será de 14 m. Nesse caso, o novo raio será de 7 m.
O que queremos descobrir, afinal, é a área em cinza da figura, que é o espaço que será ampliado. A figura formada é chamada de coroa circular. Para calcular a área da coroa circular, basta subtrair a área do círculo menor do círculo maior:
Acoroa = π . 7² – π . 3²
Acoroa = 49π – 9π
Acoroa = 40π
Acoroa = 40 . 3 = 120 m²
Esse valor corresponde à área em cinza na figura. Veja que passou da quantidade de material que o condomínio tem, que é apenas 100 m².
RESPOSTA: E
Para aprender mais:
Espero que você tenha entendido melhor a lógica que você deve utilizar para resolver exercícios sobre geometria plana. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
