Sistemas lineares é um assunto recorrente em praticamente todos os vestibulares. Vamos resolver alguns exercícios juntos?
Exercícios sobre sistemas lineares
QUESTÃO 1
(Fuvest) Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os destinos: Lisboa, Paris e Roma. Sabe‐se que o número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do número de passagens vendidas para os outros dois destinos conjuntamente. Sabe-se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a mais que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foi o total de passagens vendidas, conjuntamente, para Paris e Roma?
a) 26
b) 38
c) 42
d) 62
e) 68
RESOLUÇÃO:
Vamos entender os dados que foram fornecidos e com os quais vamos montar nosso sistema:
Agora, vamos tentar isolar algum dos elementos. Veja que podemos substituir R na segunda equação:
Aplicando a distributiva chegamos a:
P = 3L + 4
O próximo passo é usar essa informação no nosso sistema. Da mesma forma que colocam R em função de P, podemos utilizar essa nova equação para colocar todos os elementos em função de L na primeira equação:
L + 3L + 4 +
L = 16
Sabendo o valor de L, conseguimos resolver a questão usando a primeira equação:
L + P + R = 78
16 + P + R = 78
P + R = 62
RESPOSTA: D
QUESTÃO 2
(Unicamp) Considere o sistema linear nas variáveis reais x, y, z e w,
Logo, a soma x + y + z + w é igual a
a) -2.
b) 0.
c) 6.
d) 8.
RESOLUÇÃO:
Como a questão nos pede a soma das incógnitas, o que podemos fazer para resolver este sistema é somar todas as equações:
I + II: x + z = 3
II + III: y + w = 5
Agora, basta somarmos essas duas equações:
x + y + z + w = 8
RESPOSTA: D
QUESTÃO 3
(Unesp) Em uma floricultura, os preços dos buquês de flores se diferenciam pelo tipo e pela quantidade de flores usadas em sua montagem. Quatro desses buquês estão representados na figura a seguir, sendo que três deles estão com os respectivos preços.
De acordo com a representação, nessa floricultura, o buquê 4, sem preço indicado, custa
a) R$ 15,30.
b) R$ 16,20.
c) R$ 14,80.
d) R$ 17,00.
e) R$ 15,50.
RESOLUÇÃO:
Temos que analisar as figuras e dar nome a elas para organizarmos a questão. Para isso, vamos chamar as flores de cinco pétalas de x, a menorzinha delas de y e a branca (que parece um girassol) de z.
Portanto, montando a equação de cada buquê, teremos o seguinte sistema:
Veja que, a partir dessa organização, o que a questão nos pede nada mais é do que o valor de: 2x + 2y + z.
Tem uma maneira bem prática para descobrirmos o valor de y, que é dividir a terceira equação por 2. Ao fazer isso, ficaremos com:
x + z = 7,3
Repare que podemos usar essa nova equação e fazer uma substituição na segunda:
x + 2y + z = 12,1
7,3 + 2y = 12,1
2y = 4,8
y = 2,4
Há um caminho que nos leva a descobrir a resposta de uma maneira mais rápida. Como queremos descobrir o valor de 2x + 2y + z, vamos olhar para a primeira equação. Acompanhe o raciocínio:
2x + 2y + z = 2x + y + z + y
Observe que já sabemos o valor de y e também temos o valor de 2x + y + z, que é o 12,9 da primeira equação.
Então:
2x + 2y + z = 2x + y + z + y
2x + 2y + z = 12,9 + 2,4
2x + 2y + z = 15,3
RESPOSTA: A
QUESTÃO 4
(Fuvest) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a
a) 100
b) 105
c) 115
d) 130
e) 135
RESOLUÇÃO:
Novamente, vamos organizar as informações que o enunciado nos dá:
Primeiro dado:
Segundo dado:
Repare que o número n que a questão nos pede para descobrir nada mais é do que h + m. Para tornar nossas contas mais fáceis, vamos multiplicar as frações em cruz para eliminá-las. Ficaremos com:
Como na primeira equação já temos o h isolado, vamos substituí-lo na segunda:
3 . (2m – 62) – 165 = m – 31
6m – 186 – 165 = m – 31
5m = 320
m = 64
Agora, basta substituir o valor de m na primeira equação:
h = 2m – 62
h = 2 . 64 – 62
h = 66
Portanto:
n = h + m = 64 + 66 = 130
RESPOSTA: D
Para aprender mais
Assista à aula abaixo com a resolução desses e de outros exercícios para aprender, de uma vez por todas, sobre sistemas lineares.
Espero que você tenha entendido melhor sobre sistemas lineares. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
