Análise combinatória e probabilidade são dois assuntos relacionados e que costumam ser bastante cobrados nas provas. Então, vamos relembrar alguns conceitos desses temas.
A análise combinatória estuda formas para resolver problemas relacionados à contagem. Para isso, vamos relembrar 3 fórmulas importantes:
Arranjo simples
Combinação simples
Permutação Simples
P = n!
Obs.: No caso da Permutação com Repetição, deve-se dividir pela quantidade em fatorial de cada elemento repetido.
A probabilidade é calculada pela divisão do número de casos favoráveis pelo o número de casos possíveis:
Exercícios sobre análise combinatória e probabilidade
QUESTÃO 1
(Enem) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro.
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos.
Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?
RESOLUÇÃO:
Neste tipo de questão, temos que passar a limpo as informações que nos são fornecidas:
10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 destros.
Note que o enunciado nos pede para encontrar os cenários que não queremos que aconteçam. Nesse caso, jogadores canhotos não podem jogar com outros canhotos.
Quando temos esse tipo de situação, o jeito mais prático para resolvermos é calcular o todo e, em seguida, subtrair e os cenários que não queremos:
Total de jogos – jogos com 2 canhotos
Veja que esse total nada mais é do que formar um grupo de pessoas para jogar tênis. Aqui, temos 10 pessoas e só duas jogam ao mesmo tempo. Quando tivermos um total em que a ordem não importa, utilizamos combinação simples. Como temos que eliminar os jogos com 2 canhotos, teremos:
C10,2 – C4,2
Vamos lembrar a fórmula da combinação:
Então:
C10,2 – C4,2
RESPOSTA: A
QUESTÃO 2
(Enem) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por
RESOLUÇÃO:
O alfabeto tem 26 letras. Se considerarmos maiúsculas e minúsculas, teremos 52 letras.
Importante: uma senha pode ser composta por letras e números em qualquer posição, não há lugar fixo. Então, não podemos resolver essa questão simplesmente por: 52 . 52 . 10 . 10. Afinal, a posição das letras e dos números pode mudar.
Analisando os cenários “manualmente”, teríamos:
LLNN
NNLL
LNLN
NLNL
LNNL
NLLN
Nesse caso, para considerarmos as trocas de posição, temos que nos lembrar do anagrama e utilizar a permutação. Como temos 4 letras e 2 repetições, teremos:
Ou seja:
52 .52 .10 .10 .
RESPOSTA: E
QUESTÃO 3
(Enem) Um adolescente vai a um parque de diversões tendo, prioritariamente, o desejo de ir a um brinquedo que se encontra na área IV, dentre as áreas I, II, III, IV e V existentes. O esquema ilustra o mapa do parque, com a localização da entrada, das cinco áreas com os brinquedos disponíveis e dos possíveis caminhos para se chegar a cada área. O adolescente não tem conhecimento do mapa do parque e decide ir caminhando da entrada até chegar à área IV.
Suponha que relativamente a cada ramificação, as opções existentes de percurso pelos caminhos apresentem iguais probabilidades de escolha, que a caminhada foi feita escolhendo ao acaso os caminhos existentes e que, ao tomar um caminho que chegue a uma área distinta da IV, o adolescente necessariamente passa por ela ou retorna.
Nessas condições, a probabilidade de ele chegar à área IV sem passar por outras áreas e sem retornar é
RESOLUÇÃO:
Vamos analisar dois caminhos: o adolescente pode seguir reto fazendo o caminho passando pela junção de I e V para chegar no IV. A outra opção é descer e passar pelo II e chegar ao IV.
No entanto, temos que considerar que, diversas vezes, a pessoa terá que fazer escolhas. Note que, ao passar da entrada, há 50% de chances de tomar um caminho e 50% de tomar o outro.
Se ele for para baixo, logo ele chega ao ponto II, onde pode tomar a decisão errada. Ou seja, mais uma situação 50/50. Mais à frente, isso ocorre novamente, no ponto III. Se ele for por cima, há uma situação 50/50 no ponto III. Mais à frente, a coisa muda, porém, pois ele tem mais opções. Nesse caso, 1/3 de chances para seguir para I, V ou IV.
No fim das contas, já temos todos os caminhos possíveis e suas probabilidades. Precisamos saber se ele vai por cima ou por baixo e, como é uma coisa ou outra, vamos somar as probabilidades.
No entanto, repare que se calcularmos o caminho de cima, temos que considerar apenas as decisões certas para chegar em IV. Então:
Já no caminho de baixo, teremos:
Como o adolescente só pode escolher um dos caminhos, a probabilidade deve ser calculada somando as duas opções:
RESPOSTA: C
Para aprender mais
Assista à aula abaixo com a resolução desses e de mais exercícios para aprender, de uma vez por todas, análise combinatória e probabilidade.
Espero que você tenha entendido melhor sobre análise combinatória e probabilidade. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
