A Geometria Espacial é a área da Matemática que estuda figuras tridimensionais no espaço, como cubos, pirâmides, paralelepípedos, esferas, cilindros e cones. Geralmente, esta disciplina é utilizada para calcular o volume e a área de superfície dos objetos.
Algumas figuras e suas fórmulas são:
Cubo
V = a³
A = 6 . a²
*a é aresta
Paralelepípedo
Um paralelepípedo de dimensões a, b e c:
V = a . b . c
A = 2ab + 2ac + 2bc
Pirâmide
A = Ab + Al
* Ab é a área da base
** Al é a área lateral
Cilindro
V = πr² . h
A = 2πr (r+h)
Cone
V = 1/3πr² . h
A = πr (g + r)
Esfera
V = 4/3πr³
A = 4 πr²
Exercícios resolvidos sobre Geometria Espacial
QUESTÃO 1
(Fuvest) O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2.
O seno do ângulo HÂF é igual a
RESOLUÇÃO:
Primeira coisa que temos que observar: perceba que, se AB = 4, então EF = 4. Da mesma forma, se BC = 2, então FG = 2. Por fim, como BF = 2, temos o valor de todos os lados da figura.
Para entendermos o que temos que fazer, temos que identificar o ângulo pedido. Nesse caso, aquele formado entre H, A e F. Veja que ele usa a expressão HÂF; isso significa que o ângulo pedido está no vértice A.
A questão nos pede para calcular o seno do ângulo (vamos chamá-lo de a). Para isso, precisamos montar um triângulo. Teremos algo assim:
Quando trabalhamos com triângulos, precisamos saber os ângulos ou os lados. Claramente não temos os ângulos, então vamos utilizar as medidas dos lados. Repare que o segmento AF é a diagonal do retângulo que forma a face frontal do retângulo, de lados 4 e 2. Então, para descobrir a medida de AF, basta utilizar Pitágora no triângulo formado por AFB:
AF² = 4² + 2²
AF² = 20
AF = √20
Fatorando o 20, chegamos a:
AF = 2√5
Agora, veja que AF e FH têm a mesma medida.
Em seguida, temos que calcular a reta AH. Note que a face que tem o segmento AH é um quadrado de lado 2. Portanto, basta calcularmos a diagonal do quadrado, que é dada por L√2.
Ou seja: AH = 2√2.
O próximo passo é descobrir o ângulo a. Note que temos todas as medidas do retângulo, exceto o ângulo a. E o que podemos fazer se temos todos os lados de um triângulo (que não é triângulo retângulo) para descobrir o ângulo?
Vamos utilizar a Lei dos Cossenos no triângulo HAF:
(2√5)² = (2√5)² + (2√2)² – 2 . 2√5 . 2√2 . cos a
0 = 8 – 8√10 . cos a
Em seguida, precisamos calcular o seno. Para isso, vamos usar a relação fundamental da trigonometria:
sen² a + cos² a = 1
RESPOSTA: E
QUESTÃO 2
(Fgvrj) O líquido AZ não se mistura com a água. A menos que sofra alguma obstrução, espalha-se de forma homogênea sobre a superfície da água formando uma fina película circular com 0,2 cm de espessura. Uma caixa em forma de paralelepípedo retangular, com dimensões de 7 cm, 10 cm e 6 cm, está completamente cheia do líquido AZ. Seu conteúdo é, então, delicadamente derramado em um grande recipiente com água.
O raio da película circular que o líquido AZ forma na superfície da água, em centímetros, é:
RESOLUÇÃO:
Precisamos calcular o volume da caixa (Vc):
Vc = 7 . 10 . 6 = 420 cm³
Esse é o volume que teremos de líquido. Porém, note que ele será derramado, formando uma película com o mesmo volume (Vp):
Vp = Vc
Nós não sabemos o raio da circunferência. Repare, no entanto, que o líquido derramado vai formar um cilindro. Afinal, é uma figura circular e com altura.
Para calcular o volume do cilindro:
π . R² . h = V
π . R² . 0,2 = 420
π . R² = 2100
Vamos isolar o raio:
RESPOSTA: C
QUESTÃO 3
(Enem) Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1.000 L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina d’água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina.
A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às suas especificações técnicas é
a) 11,25.
b) 27,00.
c) 28,80.
d) 32,25.
e) 49,50.
RESOLUÇÃO:
Temos que prestar atenção ao enunciado, pois ele nos informa a profundidade da piscina, mas aponta que o nível da água fica abaixo do nível da borda. Ou seja, temos a profundidade da piscina valendo 1,7 m, sendo que a água está 0,5 m abaixo desse nível.
A piscina é retangular com lados 5 e 3. Então, vamos começar calculando o volume total da piscina:
V = 5 . 3 . (1,7 – 0,5)
V = 18 m³
Atenção às unidades: 1 m³ = 1000 L; então temos 18000 L.
Para resolver a questão, basta fazer uma regra de três:
1,5 mL — 1000 L
x — 18000 L
x = 27 ml
RESPOSTA: B
Para aprender mais
Assista à aula abaixo com a resolução desses e de mais exercícios para aprender, de uma vez por todas, geometria espacial.
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