Nesta aula vamos resolver alguns exercícios sobre produtos notáveis. Lembrando que produtos notáveis são expressões algébricas em que realizamos a multiplicação de polinômios, geralmente por meio da propriedade distributiva.
Existem cinco tipos de produtos notáveis que devemos conhecer:
Quadrado da soma
É representado por:
(a + b) . (a + b)
Por óbvios, também podemos escrevê-lo como:
(a + b)².
Como resultado, teremos a famosa expressão que devemos ter na ponta da língua “o quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo”:
a² + 2ab + b²
Quadrado da diferença
Representa-se:
(a – b) . (a – b)
(a – b)²
O resultado é o seguinte:
a² – 2ab + b²
Produto da soma pela diferença
Teremos:
(a + b) . (a – b)
Neste caso, não podemos colocamos em uma mesma potência. No entanto, o resultado poderá ser encontrado pelo quadrado da soma:
a² – b²
Cubo da soma
Como o nome sugere, trata-se da multiplicação de três polinômios:
(a + b) . (a + b) . (a + b)
Novamente podemos juntá-los em uma mesma potência:
(a + b)³
Aplicando a distributiva, chegaremos a:
a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Cubo da diferença
Seguindo a mesma lógica, mas com uma subtração:
(a – b) . (a – b) . (a – b)
Obviamente, podemos juntar em:
(a – b)³
Chegando a:
a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Exercícios sobre produtos notáveis
QUESTÃO 1
(Espm) O número que se deve somar a 456.788² para se obter 456.789² é:
a) 456.789
b) 1
c) 456.788
d) 913.579
e) 913.577
RESOLUÇÃO:
Veja que temos que somar um número x ao número dado para encontrar o resultado. Então:
x + 456788² = 456789²
Note que podemos isolar o x, passando o número para o outro lado. Com isso, teremos:
x = 456789² – 456788²
Observe que chegamos a um produto notável, que será o produto da soma pela diferença. Lembrando:
a² – b² = (a + b) . (a – b)
Reescrevendo a equação que encontramos nesse mesmo molde:
x= (456789 + 456788) . ( 456789 – 456788)
x = (456789 + 456788) . 1
x = 913577
RESPOSTA: E
QUESTÃO 2
(IFSC) Considere x o resultado da operação 525² – 523². Assinale a alternativa CORRETA, que representa a soma dos algarismos de x.
a) 18
b) 13
c) 02
d) 17
e) 04
RESOLUÇÃO:
Repare que teremos o mesmo produto notável do exercícios anterior:
525² – 523²
(525 + 523) . (525 – 523)
(525 + 523) . 2
1048 . 2
2096
x = 2 + 0 + 9 + 6
x = 17
RESPOSTA: D
QUESTÃO 3
(UFGRS) Se x + y = 13 e x . y = 1, então x² + y² é
a) 166.
b) 167.
c) 168.
d) 169.
e) 170.
RESOLUÇÃO:
Como queremos descobrir o resultado de x² + y², vamos pegar a primeira equação dada (x + y = 13) e elevá-la ao quadrado:
(x + y)² = (13)²
Aplicando o produto notável do quadrado da soma:
x² + 2xy + y² = 169
Repare no enunciado mais uma vez: sabemos que x . y = 1, ou seja, podemos trocar:
x² + 2 + y² = 169
x² + y² = 167
RESPOSTA: B
QUESTÃO 4
(UECE) Se x é um número real tal que , então, o valor de é:
Sugestão: Você pode usar o desenvolvimento do cubo de uma soma de dois números reais.
a) 9.
b) 18.
c) 27.
d) 36.
RESOLUÇÃO:
Uma sugestão para resolver esse exercício, é elevar a equação inicial ao cubo:
Veja que temos o cubo da soma:
A seguir, podemos utilizar o fator comum, colocando o 3 em evidência:
Observe que o que está entre parênteses é justamente o que o enunciado nos forneceu, que vale 3:
RESPOSTA: B
QUESTÃO 5
(CFTMG) Simplificando a fração algébrica sendo x e y números reais, tais que x + y ≠ 0 e x – y = 4, obtém-se o valor
a) 1,5
b) 1,0
c) 0,5
d) 0,0
RESOLUÇÃO:
A primeira coisa que devemos fazer é simplificar a expressão. Veja que tanto em cima quanto embaixo, temos a diferença de quadrados. Além disso, podemos colocar o 2 em evidência. Então, vamos reescrever:
Repare que em todas as partes da equação temos x + y. Com isso, podemos colocar o x + y em evidência, o que facilita para simplificarmos a equação:
Voltando ao enunciado, vemos que x – y = 4. Trocando, teremos:
RESPOSTA: A
Para aprender mais
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