Nesta aula, vamos resolver juntos questões de Matemática que caíram em provas do vestibular da Unicamp. Esse tipo de revisão é importante para que você pegue o jeito da prova e entenda como a universidade costuma cobrar alguns conteúdos. E isso é fundamental quando falamos de uma prova de um nível tão elevado, como é da Unicamp.
Aliás, um pedido: sempre tente resolver a questão antes de ver a resolução, beleza? Assim, você consegue praticar e entender o seu nível de Matemática. Bons estudos!
Quais são os assuntos de Matemática que mais caem na Unicamp?
Antes de praticamos, dê uma olhada os assuntos que mais caíram na Unicamp nos últimos 10 anos (os dados não consideram o ano de 2021, tanto por conta da pandemia e quanto de mudanças do edital que ocorreram no último ano):
Exercícios de revisão para a Unicamp
QUESTÃO 1
(Unicamp 2021) Considere que as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica. Sendo a a medida do menor lado e A a área desse triângulo, é correto afirmar que
RESOLUÇÃO:
Quando uma questão nos diz que há uma figura, a primeira coisa que temos que fazer é desenhar para nos localizarmos melhor. Veja que o enunciado diz que há uma progressão geométrica.
Se temos um lado que mede a e que os demais estão em PG, temos que lembrar do que isso se trata. Progressão geométrica é uma sequência de valores que são multiplicados pela mesma razão (representada pela letra q).
Neste caso, a PG dos lados seria: (a, aq, aq²).
Como temos um triângulo retângulo, já sabemos o que fazer: Pitágoras, ou seja, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:
(aq²)² = a² + (aq)²
a² . q4 = a² + a² . q²
Note que o enunciado nos diz que a é o menor lado do triângulo. Consequentemente, a é um número maior do que 0. Para facilitar essa conta, portanto, podemos dividir toda a expressão por a²:
q4 = 1 + q²
q4 – q² – 1 = 0
Chegamos a um tipo importante de equação de quarto grau, chamada de biquadrada. Nessa situação, basta fazer pegar o q² e darmos um outro nome. Vamos chamá-lo de x. Veja o que vai acontecer:
x² – x – 1 = 0
Em seguida, vamos fazer Bhaskara. Antes, vamos encontrar o delta:
Δ = (-1)² – 4 .1 . (-2)
Δ = 5
Agora vamos calcular o x com Bhaskara:
Repare: o x é o q², que deve ser sempre um número positivo. Então não precisamos considerar o sinal negativo, pois não convém. Como resposta, teremos:
Portanto:
Vamos racionalizar, multiplicando o numerador e o denominador por √2:
Agora temos que calcular a área. A boa notícia é que, para isso, basta multiplicar base por altura e dividir por 2:
RESPOSTA: A
QUESTÃO 2
(Unicamp 2019) Sejam k e θ números reais tais que sen θ e cos θ são soluções da equação quadrática 2x² + x + k = 0. Então, k é um número
a) irracional.
b) racional não inteiro.
c) inteiro positivo.
d) inteiro negativo.
RESOLUÇÃO:
Estamos diante de uma equação do segundo grau bastante simples. A questão já nos fornece as soluções da equação: x1 = senθ; x2 = cosθ.
Toda vez que estamos diante de uma equação do segundo grau, podemos usar Bhaskara. Porém, neste caso, como as raízes nos foram dadas e elas são algébricas, a melhor saída é soma e produto:
x< + x2 =
x1 . x2 =
Então:
senθ + cosθ =
senθ . cosθ =
Quando temos equações com seno e cosseno, devemos nos lembrar da relação fundamental: sen² + cos² = 1. Como não temos nem um nem outro, a dica é elevar os dois lados da primeira equação ao quadrado. Já na segunda equação vamos passar o 2 que divide k multiplicando o outro lado:
sen² θ + 2senθ.cosθ + cos²θ =
2senθ.cosθ = k
Note que na primeira equação temos perdida ali uma soma de sen² e cos². Ou seja, temos nossa relação fundamental. E veja na equação de baixo que senθ.cosθ é igual a k. Arrumando tudo:
1 + k =
k = 
k =
Se você resolver a conta, chegará a -0,75. Repare que é um número decimal simples e finito.
RESPOSTA: B
QUESTÃO 3
(Unicamp 2018) Sabendo que k é um número real, considere o sistema linear nas variáveis reais x e y,
É correto afirmar que esse sistema
a) tem solução para todo k.
b) não tem solução única para nenhum k.
c) não tem solução se k = 1.
d) tem infinitas soluções se k ≠ 1.
RESOLUÇÃO:
Perceba que temos uma letra que normalmente não aparece: k. Vamos relembrar que existem três tipos de sistemas:
- SPD (sistema possível determinado): única solução.
- SPI (sistema possível indeterminado): infinitas soluções:
- SI (sistema impossível): não há solução.
Para resolvermos essa questão, temos que lembrar o determinante. Existe um determinante, representado por D, que trata dos coeficientes do sistema:
Nesse sistema, multiplicamos em X, chegando a: 1 – k.
Quando falamos de determinantes de sistemas lineares, temos que para ser um SPD, D ≠ 0. Então:
1 – k ≠ 0
k ≠ 1
Agora, temos que testar outra possibilidade:
Se D = 0, teremos que k = 1. Por essa resposta, não sabemos se é SPI ou SI. Então, vamos substituir esse valor no sistema:
x + y = 1
x + y = 1
Toda vez que chegarmos a uma situação como essa, com equações iguais, teremos um SPI. Sempre! Repare que se tentarmos resolver esse sistema, multiplicando a equação de cima por -1 e somando com a de baixo, chegaremos a: 0 = 0. Esse é o indicativo mais claro de um SPI.
Se temos infinitas soluções quando k = 1 e apenas uma solução quando k ≠ 1, teremos solução independentemente do valor de k.
RESPOSTA: A
Para aprender mais
Para se aprofundar no conteúdo, assista à minha live de mais de 1 hora com a resolução desses e de outros exercícios da Unicamp:
Espero que você tenha entendido melhor o que estudar para a prova de Matemática da Unicamp. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
