Podemos fazer todo o tipo de operação com polinômios, sendo a mais cobrada pelos vestibulares a divisão, que envolve muitos teoremas e regras específicas.
Para facilitar o aprendizado dessas contas, vamos colocar a mão na massa, resolvendo alguns exercícios passo a passo. Se você vai prestar Unicamp, preste bastante atenção, pois esse é um assunto que costuma cair muito na prova.
Acompanhe!
Exercícios sobre polinômios
QUESTÃO 1
(Famema) Os restos das divisões de um polinômio D(x) por x + 2 e por x – 4 são, respectivamente, 4 e −2. O resto da divisão de D(x) por x² – 2x – 8 é
a) 2.
b) x + 2.
c) x – 2.
d) -x + 2.
e) -x – 2.
RESOLUÇÃO:
Notem que temos uma divisão por um polinômio do segundo grau. Então, temos que montar uma divisão com o D(x).
O enunciado nos fornece os restos de determinadas divisões. Como é uma divisão por um polinômio de segundo grau, então o resto que teremos será, no máximo, um polinômio do primeiro grau.
Se montar a divisão certinho, teremos:
Então:
D(x) = (x² – 2x – 8) . Q(x) + ax + b
Podemos resolver rapidamente a equação de segundo grau. Vamos usar soma e produto e chegaremos a: x1 = 2; x2 = 4.
Assim, podemos fatorar o polinômio em: (x – 4) . (x + 2). Trocando:
D(x) = (x – 4) . (x + 2) . Q(x) + ax + b
Agora podemos aplicar o teorema do resto. O enunciado nos diz traz os restos:
D(-2) = 4.
Se substituirmos o -2 na equação, teremos que:
-2a + b = 4
Fazendo a mesma coisa para o outro valor dado pelo enunciado:
D(4) = -2
4a + b = -2
Precisamos encontrar o valor de a e de b para resolver o problema. Note que temos um sistema de duas equações:
-2a + b = 4
4a + b = -2
Podemos usar o método da adição, multiplicando a primeira equação por -1 e somá-la à segunda. Ficaremos com:
6a = -6
a = -1
Basta substituir esse valor em uma das duas e chegaremos a:
-2a + b = 4
2 + b = 4
b = 2
Vamos descobrir o resto:
r(x) = ax + b
r(x) = -1x + 2
RESPOSTA: D
QUESTÃO 2
(Unicamp) Sabendo que a é um número real, considere os polinômios p(x) x³ – x² + a e q(x) x² + x + 2. Se p(x) é divisível por q(x), então
a) a = 3.
b) a = 2.
c) a = -1
d) a = -4
RESOLUÇÃO:
Quando o enunciado fala que é divisível, quer dizer que o resto é 0. Então:
Agora temos que multiplicar para cancelar o 2x². Para fazer isso, temos que colocar um -2 no quociente:
Esse é o resto. Porém, como o enunciado fala que o polinômio do terceiro grau é divisível. O resto a + 4 tem que ser igual a 0. Então:
a + 4 = 0
a = -4
RESPOSTA: D
QUESTÃO 3
(Unesp) Sabe-se que, na equação x³ + 4x² + x – 6 = 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é
a) S = {– 3, – 2, – 1}
b) S = {– 3, – 2, + 1}
c) S = {+ 1, + 2, + 3}
d) S = {– 1, + 2, + 3}
e) S = {– 2, + 1, + 3}
RESOLUÇÃO:
Aqui, entramos em equações polinomiais. É um assunto mais avançado.
Veja que o enunciado fala que uma das raízes é igual à soma das outras duas. Podemos usar a relação de Girard para descobrirmos uma das raízes.
No entanto, tem uma informação que vale a pena destacar e que pode facilitar nossas contas: observe os coeficientes do polinômio. Nesse caso, vou ressaltar em negrito:
1x³ + 4x² + 1x – 6 = 0
Toda vez que a soma dos coeficientes de um polinômio for igual a 0, isso significa que o número 1 é uma das raízes. Ou seja, já sabemos uma das respostas: x = 1.
Quando sabemos uma raiz, podemos aplicar o dispositivo de Ruffini para fatorar o polinômio de terceiro grau e chegar a um de segundo grau, mais fácil de resolver.
Com isso temos o coeficiente: Q(x) x² + 5x + 6.
Basta usar Bhaskara ou soma e produto para descobrir as raízes. Vamos usar a segunda opção para chegar a: x1 = -2; x2 = -3.
RESPOSTA: B
QUESTÃO 4
(Unicamp) Considere o polinômio p(x) = xn + xm + 1, em que n > m ≥ 1. Se o resto da divisão de p(x) por x + 1 é igual a 3, então
a) n é par e m é par.
b) n é ímpar e m é ímpar.
c) n é par e m é ímpar.
d) n é ímpar e m é par.
RESOLUÇÃO:
Este exercício só tem uma saída: o teorema do resto. Lembre-se que só podemos usar o teorema do resto com um divisor do primeiro grau.
Traduzindo o que o enunciado está nos dizendo:
Veja que a raiz do divisor é: x = -1. Se pegarmos essa raiz e colocarmos no polinômio que está sendo dividido, a resposta será sempre o resto. Ou seja:
P(-1) = 3
Então:
(-1)n + (-1)m + 1 = 3
Veja que nas alternativas não temos valores, mas características para m e n. Repare que temos três elementos que estão sendo somados. E essa soma tem resultado 3. Ou seja, é muito provável que (-1)n e (-1)m valham 1.
No entanto, para que isso aconteça, precisamos de um sinal inverso. Lembre-se de que quando temos um número negativo como base e o expoente é par, o sinal troca. Então, n e m são pares.
RESPOSTA: A
QUESTÃO 5
(Famema) Na equação polinomial x³ – 2x² – x + 2 = 0, uma das raízes é −1. O módulo da diferença entre a menor e a maior das raízes é
a) 4.
b) 1.
c) 2.
d) 0.
e) 3.
RESOLUÇÃO:
Toda vez que o enunciado fornecer uma das raízes de um polinômio, podemos aplicar Ruffini diretamente, para fatorá-lo e tornar as contas mais fáceis:
Com isso:
x² – 3x + 2 = 0
Vamos fazer soma e produto: x1 = 1 ; x2 = 2.
Note que é óbvio que uma das raízes seria 1, pois a soma dos coeficientes do polinômio vale 0.
Agora, vamos calcular o módulo da diferença entre a menor e a maior raíz:
|-1 – 2| = |-3| = 3
RESPOSTA: E
Para aprender mais
Assista à aula abaixo com a resolução desses exercícios para aprender, de uma vez por todas, sobre operações com polinômios.
Espero que você tenha entendido melhor sobre polinômios. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
