Neste post, vamos resolver juntos alguns exercícios de Matemática bem completos que caíram nos principais vestibulares do Brasil: Fuvest e Unicamp.
Escolhi essas duas provas porque, além de populares, elas têm um nível bastante alto. Então, conseguir se virar nas questões dos vestibulares permite que você mande bem em basicamente qualquer outra prova do Brasil, incluindo o Enem.
Antes, uma repassada nos assuntos que costumam ser mais cobrados país afora. E afirmo com certeza que função é o conteúdo que mais cai nas provas. Mas tem mais: é fundamental revisar bem geometria plana e geometria espacial. E especificamente para a prova de matemática do Enem, estude razão, proporção e porcentagem, beleza?
Sem mais delongas, bora resolver algumas questões. Bons estudos!
Matemática no vestibular: exercícios resolvidos
QUESTÃO 1
(Unicamp) Considere o polinômio cúbico p(x) = x³ + x² – ax – 3, onde é um número real. Sabendo que r e −r são raízes reais de p(x), podemos afirmar que p(1) é igual a
a) 3.
b) 1.
c) -2.
d) -4.
RESOLUÇÃO:
Vamos organizar os dados, considerando que temos um polinômio cúbico, ou seja, com três raízes:
x1 = r; x2 = -r; x3 =?
Para calcularmos p(1), precisamos descobrir o valor de a. Afinal, para isso:
p(1) = 1² + 1² – a . 1 – 3
Note que, assim, a equação ficaria em função de a, e não temos nenhuma alternativa para isso:
p(1) = -a – 1
Para onde vamos daqui? Temos que usar as raízes que temos para descobrir a. Toda vez que uma questão fornece as raízes, devemos lembrar do conceito de relação de Girard, que nos fala da soma das raízes de um polinômio, que sempre deverá seguir:
Usei letras maiúsculas na fração para não confundirmos com o valor de a que queremos encontrar. Nesse caso, A = 1 e B = 1. Portanto:
r – r + x3 = -1
x3 = -1
Agora que conhecemos esse valor, devemos lembrar o papel de uma raíz do polinômio. Basicamente, quando substituímos as raízes do polinômio, seu resultado deve ser zero.
Sabendo disso:
p(-1) = 0
(-1)³ + (-1)² – a . (-1) – 3 = 0
-1 + 1 + a – 3 = 0
a = 3
Com esse valor, podemos responder a questão. Vamos retomar a equação que descobrimos no começo:
p(1) = -a – 1
p(1) = -3 – 1
p(1) = -4
RESPOSTA: D
QUESTÃO 2
(Fuvest) Os funcionários de um salão de beleza compraram um presente no valor de R$ 200,00 para a recepcionista do estabelecimento. No momento da divisão igualitária do valor, dois deles desistiram de participar e, por causa disso, cada pessoa que ficou no grupo precisou pagar R$ 5,00 a mais que a quantia originalmente prevista.
O valor pago por pessoa que permaneceu na divisão do custo do presente foi:
a) R$ 10,00
b) R$ 15,00
c) R$ 20,00
d) R$ 25,00
e) R$ 40,00
RESOLUÇÃO:
Em exercícios de interpretação, é fundamental organizar os dados antes de fazer qualquer outra coisa. Então vamos fazer isso.
Vamos chamar de y o preço que cada pessoa pagou. Lembrando que o valor do presente é de 200 reais, que será dividido por um número x de pessoas:
No entanto, duas pessoas desistiram. Então, a divisão dos 200 reais será feita por x – 2 pessoas, o que resulta num acréscimo de 5 reais para cada pessoa:
Repare que, com essas duas equações (antes e depois da desistência) formam um sistema. Para resolvê-lo, podemos simplesmente substituir o valor de y, dado pela primeira equação, na segunda:
Tirando o MMC:
Multiplicando em cruz:
200x + 5x² – 400 – 10x = 200x
5x² – 10x – 400 = 0
Repare que podemos dividir tudo por 5:
x² – 2x – 80 = 0
Para resolver essa equação, não precisamos usar Bhaskara. Vamos fazer por soma e produto. Primeiro a soma:
x1 + x2 = 2
Já o produto:
x1 . x2 = -80
Veja que -80. Quando pensamos numa multiplicação cujo resultado é 80, os primeiros números que vêm à cabeça são 8 e 10, não é? Como o resultado é negativo, um dos dois tem que ser negativo também. Como a soma é 2 (positivo), tá na cara que as raízes são: x1 = -8 e x2 = 10.
Como a questão trata do número de pessoas, obviamente não podemos trabalhar com um número negativo. Portanto, vamos utilizar o x2 para resolvê-la.
Mas essa não é nossa resposta ainda. Repare no comando da questão. Substituindo nas duas equações que criamos, temos que, antes da divisão, cada pessoa pagaria R$ 20. Se após a divisão, houve um acréscimo de R$ 5 por pessoa, então chegamos à resposta: R$ 25.
RESPOSTA: D
QUESTÃO 3
(Unicamp) Considere a matriz quadrada de ordem 3, 
Podemos afirmar que
a) A não é invertível para nenhum valor de x.
b) A é invertível para um único valor de x.
c) A é invertível para exatamente dois valores de x.
d) A é invertível para todos os valores de x.
RESOLUÇÃO:
Veja que todas as alternativas seguem a ideia de matriz invertível. Lembre-se de que só existe matriz inversa se, e somente se, o determinante da matriz for diferente de zero.
Então, não tem jeito, vamos ter que calcular o determinante dessa matriz. Vamos lembrar que para calcular o determinante de matriz 3×3 devemos copiar as duas primeiras colunas ao lado da matriz:
Para resolver, vamos multiplicar as diagonais principais (da esquerda para direita, de cima para baixo) e depois as diagonais secundárias (da esquerda para direita, de baixo para cima). Chegaremos a:
D = cos²x – (-sen²x) = sen²x + cos²x
Repare que chegamos à relação fundamental da trigonometria. Toda vez que isso acontece, sempre temos o mesmo valor: 1.
Agora vamos analisar as alternativas. Veja que concluímos que a matriz é, de fato, invertível e que, devido à relação fundamental da trigonometria, isso é verdade para qualquer valor de x, pois o resultado sempre será 1.
RESPOSTA: D
QUESTÃO 4
(Fuvest) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ABC e ADC são retos, AB = AD = 1, BC = CD = 2 e BD é uma diagonal. O cosseno do ângulo BCD vale
RESOLUÇÃO:
Traduzindo: temos um polígono de quatro lados, cujos pares de lados têm a mesma medida. Note que os ângulos são retos. Então, já temos informações suficientes para fazer um desenho mais preciso.
Teremos algo mais ou menos assim:
Os ângulos retos (90º) estão nos pontos B e D, ok?
Para descobrir o cosseno do ângulo BCD, a figura desse jeito não vai nos ajudar. Temos que trabalhar com triângulos. Para isso, lembre-se de que todo quadrilátero pode ser quebrado em dois triângulos.
Nesse caso, vamos dividi-lo no eixo AC, pois nos interessa ter um triângulo retângulo na mão:
Repare no triângulo ABC. Ele é um triângulo retângulo devido aos 90º no ponto B. Então, podemos simplesmente aplicar Pitágoras.
ΔABC: AC² = 1² + 2²
ΔABC: AC² = 5
ΔABC: AC = √5
Descobrindo o AC, fica mais fácil descobrir o cosseno, pois temos agora a hipotenusa do triângulo ABC.
Note que o segmento AC divide a figura em metades iguais, ou seja, o ângulo BCD está dividido exatamente ao meio. Cada metade dele vamos chamar de α, isto é, o que temos que descobrir é o cosseno de 2α:
cos(2α) = cos²α – sen²α
RESPOSTA: C
Para aprender mais
Para praticar mais exercícios de Matemática para o vestibular, deixo abaixo duas sugestões de lives que fizemos: uma com questões da Fuvest e outra da Unicamp.
Espero que você tenha entendido melhor o tipo de exercícios de matemática que você deve estudar para o vestibular. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
