Matrizes e Determinantes: aprenda com exercícios

A melhor maneira para dominar matrizes e determinantes é praticar bastante! Aqui eu trouxe alguns exercícios resolvidos para você treinar junto comigo. Bora?

Exercícios sobre Matrizes e Determinantes

QUESTÃO 1

(Unicamp) Considere a, b, c, d termos consecutivos de uma progressão aritmética de números reais com razão r ≠ 0. Denote por D o determinante da matriz

É correto afirmar que vale

a) −1.

b) −2.

c) −3.

d) −4.

RESOLUÇÃO:

Se (a, b, c, d) é uma progressão aritmética, isso significa que temos uma razão. Nesse caso, r. Ou seja, para chegar em b, temos que somar a+r, e assim por diante.

Veja que, em vez de trabalhar com essas quatro letras diferentes, podemos usar apenas duas, facilitando nossa vida. Para isso, vamos transformar:

(a, a+r, a+2r, a+3r)

A questão nos trouxe o determinante D. Mas agora podemos escrever a matriz substituindo os elementos:

Para calcular o determinante, temos que multiplicar a diagonal principal e subtração da multiplicação da diagonal secundária. Portanto:

D = a . (a + 3r) – (a + 2r) . (a + r)

D = a² + 3ar – a² + ar + 2ar + 2r²

D = a² + 3ar – (a² + 3ar + 2r²)

D = a² + 3ar – a² – 3ar – 2r²

D = -2r²

Fazendo a divisão que nos pede a questão:

RESPOSTA: B

QUESTÃO 2

(Enem) Uma empresa avaliou os cinco aparelhos de celulares (T₁, T₂, T₃, T₄ e T₅) mais vendidos no último ano, nos itens: câmera, custo-benefício, design, desempenho da bateria e tela, representados por I₁, I₂, I₃, I₄ e I₅, respectivamente. A empresa atribuiu notas de 0 a 10 para cada item avaliado e organizou essas notas em uma matriz A, em que cada elemento a_ij significa a nota dada pela empresa ao aparelho T_i no item I_j. A empresa considera que o melhor aparelho de celular é aquele que obtém a maior soma das notas obtidas nos cinco itens avaliados.

Com base nessas informações, o aparelho de celular que a empresa avaliou como sendo o melhor é o

a) T₁

b) T₂

c) T₃

d) T₄

e) T₅

RESOLUÇÃO:

Importante: a questão nos traz o aparelho T_i e o item I_j. Quando falamos em i, estamos sempre nos referindo a uma linha. E o j é sempre uma coluna. Então,isso significa que as linhas da matriz tratam dos celulares (de T₁ a T₅) e os itens avaliados estão nas colunas (de I₁ a I₅).

Por exemplo: o celular 1 (T₁) recebeu nota 6 no item 1 (I₁).

Para fazer o que a questão nos pede, devemos somar todos os itens, celular por celular. É chato, mas não é difícil:

T₁ = 6 + 9 + 9 + 9 + 8 = 41

T₂ = 9 + 6 + 7 + 8 + 10 = 40

T₃ = 7 + 10 + 10 + 7 + 10 = 44

T₄ = 8 + 8 + 10 + 10 + 9 = 45

T₅ = 8 + 8 + 8 + 9 + 9 = 42

O celular mais bem-avaliado é T₄.

RESPOSTA: D

QUESTÃO 3

(Eear) Sejam as matrizes e . Se X é uma matriz tal que A ⋅ X = B, então a soma dos elementos da matriz X é

a) −4

b) −2

c) 2

d) 4

RESOLUÇÃO:

Se A . X = B, temos:

. X =

Repare que temos uma matriz 2×2 e que a resultante é uma 2×1. Vamos lembrar que, quando multiplicamos matrizes, o número de colunas da primeira tem que ser igual ao número de linhas da segunda. Se a matriz resultante é 2×1, então temos que pegar o número de colunas da primeira e o número de linhas da segunda. Ou seja, matriz X é 2×1.

Então:

Quando multiplicamos matrizes, temos que fazer o produto da linha pela coluna. Nesse caso, chegaremos a um sistema:

Aqui, o método da adição fica mais fácil. Vamos multiplicar a equação de cima por -2 e somá-la à de baixo. Teremos:

11b = -11

b = – 1

Agora que sabemos o valor de b, vamos calcular o valor de a. Para isso, basta substituir b em qualquer uma das duas equações do sistema. Vamos usar a primeira, porque é mais fácil:

a – 3b = 0

a – 3 . (-1) = 0

a = -3

Por fim, soma dos elementos será:

a + b = -3 + (-1) = -4

RESPOSTA: A

QUESTÃO 4

(Unicamp) Sabendo que p é um número real, considere a matriz A = e sua transposta A^T. Se A +A^T é singular (não invertível), então

a) p = 0.

b) |p| = 1.

c) |p| = 2.

d) p = 3.

RESOLUÇÃO:

A primeira coisa que temos que fazer é calcular A + A^T. Para isso, vamos lembrar que em uma matriz transposta devemos transformar linha em coluna:

Somando:

Note que se uma matriz não é invertível, que dizer que o determinante é igual 0. Então:

Multiplicando as diagonais:

4p² – 4 = 0

4p² = 4

p² = 1

p = ± 1

Veja que as respostas estão expressas em equações modulares. Note que a letra B traz o módulo de p, Ou seja, 1, independentemente do sinal.

RESPOSTA: B

Para aprender mais

Assista à aula abaixo com a resolução desses exercícios para aprender, de uma vez por todas, sobre matrizes e determinantes.

Espero que você tenha entendido melhor sobre matrizes e determinantes. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!