Exercícios de Divisibilidade

A divisibilidade é a operação que nos possibilita separar um todo em partes menores. Se temos 21 bolachas e queremos reparti-las igualmente entre 7 amigos, sabemos que cada pessoa deverá ficar com 3 bolachas.

Repare que, nesse caso, não temos resto. Ou seja, trata-se de uma divisão exata, que pode ser representada da seguinte forma:

Cada um desses elementos têm um nome:

21: dividendo (D)

7: divisor (d)

3: quociente (q)

0: resto (r)

Inclusive, podemos transformar essa representação visual em uma equação, que nos permite tirar a prova real:

D = d . q + r

Total de divisores

Outro conceito importante quando estudamos divisibilidade é o número de divisores de um número. A forma de descobrir esse valor é por meio da fatoração. Ela consiste em pegarmos um número e o fatorarmos em números primos, isto é, vamos reescrevê-lo como uma multiplicação apenas de números primos.

Para isso, basta colocar o número, passar uma linha vertical e começar a divisão: em um lado você coloca os números primos que utilizaremos na divisão e, no outro, o resultado dessa divisão, até chegarmos a um número indivisível.

Vamos fazer isso com o 36. Para ficar mais organizado aqui no texto, vamos utilizar uma tabela:

Portanto, chegamos a: 36 = 2² . 3².

Repare, agora, nos expoentes. temos 2 e 2. Nesse caso, para descobrir o número de divisores, temos que identificar os expoentes, somá-los com 1 e depois multiplicá-los. Ou seja:

(2+1) . (2+1) = 3 . 3 = 9. Isso significa que o total de divisores de 36 é 9.

Então, sempre que tivermos uma situação como:

Sabemos que o número de divisores positivos do número N será calculado por:

n[D + (N)] = (α1 + 1) . (α2 + 1) . (α3 + 1) … (αn + 1)

MMC e MDC

Dentro da divisibilidade também temos os conceitos de MMC (mínimo múltiplo comum) e MDC (máximo divisor comum). Eles são ferramentas para ajudar na resolução de problemas.

O MMC é o menor número múltiplo entre dois ou mais algarismos. Para encontrá-los, devemos fatorá-los juntos, mas, nesse caso, não precisamos encontrar um número que seja múltiplo de todos os algarismos com os quais estamos lidando de uma só vez.

Exemplo: calculando o MMC entre 10, 15 e 20:

Assim, chegamos a: 2² . 3 . 5. Ou seja, o MMC de 10, 15 e 20 é 60.

Já o MDC trata-se do maior número divisor entre os algarismos.

Para calculá-lo, precisamos multiplicar os fatores que dividem os números fatorados ao mesmo tempo. Veja a tabela novamente:

No caso de 10, 15 e 20, repare que apenas o 5 foi capaz de dividir todos simultaneamente. Portanto, o MDC desses números é 5.

Exercícios sobre divisibilidade

QUESTÃO 1

(UECE) Assinale a opção que corresponde à quantidade de números inteiros positivos que são fatores do número 30.030.

a) 32

b) 34

c) 64

d) 66

RESOLUÇÃO:

Como vimos, quando a questão nos pede os fatores, podemos utilizar a técnica da fatoração em primos.

Perceba que se multiplicarmos todos os números da coluna da direita chegaremos ao 30030. No entanto, não é isso que a questão nos pede.

Nós usamos a fatoração para podermos utilizar uma fórmula que nos permite encontrar o número de divisores possíveis de um número natural. Nesse caso, só consideramos os divisores positivos.

Então, como sabemos que: 30030 = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 e que todos os expoentes desses números são 1:

(1+1) . (1+1) . (1+1) . (1+1) . (1+1) . (1+1) = 2⁶ = 64

RESPOSTA: C

QUESTÃO 2

(G1 – CMRJ) Os povos indígenas têm uma forte relação com a natureza. Suponha que a tribo indígena Kayapó Gorotire, do Norte do Brasil, celebre o Ritual do Sol de 20 em 20 dias, o Ritual da Chuva de 66 em 66 dias, e o Ritual da Terra de 30 em 30 dias. Se os três rituais acontecerem hoje, 10 de setembro de 2017, que é um domingo, o próximo dia da semana em que os três rituais serão celebrados juntos novamente será

a) Sábado.

b) Terça-feira.

c) Quarta-feira.

d) Quinta-feira.

e) Sexta-feira.

RESOLUÇÃO:

Toda vez que tivermos uma situação que tivermos eventos que acontecem em intervalos de tempo diferentes e quisermos saber quando todos eles acontecerão ao mesmo tempo, temos que utilizar o MMC. Afinal, queremos descobrir a primeira vez que isso irá acontecer.

Calculando o MMC:

Diferentemente da fatoração, precisamos multiplicar todos os números da coluna da direita. Nesse caso, teremos 660. Esse número significa que a cada 660 dias todos os rituais acontecerão juntos.

Porém, repare que o enunciado nos diz o dia em que os rituais aconteceram juntos: domingo, 10 de setembro. Para descobrir a resposta, precisamos ter em mente a tabuada do 7. Afinal, a cada sete dias, temos o mesmo dia da semana. 

Então, se o intervalo de tempo que encontramos (660) for múltiplo de 7, sabemos que os rituais acontecerão no mesmo dia da semana de novo (domingo). Portanto, precisamos fazer essa divisão:

600 : 7 = 94, com resto 2.

Se a divisão fosse exata, saberíamos que cairia num domingo. No entanto, esse resto 2 nos indica que teremos 94 semanas com mais 2 dias. Ou seja: terça-feira.

RESPOSTA: B

QUESTÃO 3

(ESPM) Dividindo-se o número natural N por 13, obtém-se quociente Q e resto R. Aumentando-se 2 unidades no dividendo e mantendo-se o divisor, o quociente aumenta de 1 unidade e a divisão é exata.

Sabendo-se que Q + R = 16, podemos afirmar que os divisores primos de N são:

a) 2 e 19

b) 2, 3 e 13

c) 3 e 17

d) 3, 5 e 7

e) 5 e 11

RESOLUÇÃO:

Colocando na ponta do lápis o que o enunciado nos diz:

Lembre-se de que sempre podemos reescrever o algoritmo da divisão como uma equação:

N = 13 . Q + R

Mas o enunciado nos traz mais informações:

E isso nos leva a uma segunda equação:

N + 2 = 13 . (Q + 1)

Por fim, repare que a questão nos traz uma terceira equação:

Q + R = 16

Com essa última informação, podemos relacionar as duas primeiras equações de a chegarmos a uma expressão apenas com Q e R.

A primeira coisa que podemos fazer, então, é isolar o N na segunda equação, pois assim podemos igualá-la à primeira:

N + 2 = 13 . (Q + 1)

N = 13Q + 11

Veja que agora chegamos a duas equações que nos indicam o valor de N, ou seja, temos que N = N. Com isso:

13Q + R = 13Q + 11

R = 11

Voltando para a equação do enunciado:

Q + R = 16

Q = 5

Agora que temos o valor de Q e R, podemos substituí-los na primeira equação:

N = 13 . Q + R

N = 13 . 5 + 11

N = 76

Para finalizar, temos que fatorar o 76 para encontrar os divisores primos:

Portanto, temos dois divisores primos: 2 e 19.

RESPOSTA: A

Para aprender mais

Para mais exercícios resolvidos sobre divisibilidade, confira a live que fiz no meu canal; é mais de 1 hora de muito conteúdo:

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