Fala, pessoal. Neste post, vamos fazer exercícios sobre sistemas lineares. Antes, como sempre, uma revisão teórica e conceitual.
Sistemas lineares
Sistemas lineares são conjuntos de equações lineares, com um determinado número de equações e de incógnitas. Eles podem ser representados genericamente da seguinte forma:
Existem três formas para resolver sistemas lineares: comparação, adição ou substituição. Na resolução dos exercícios vamos aplicá-las em diferentes ocasiões, o que torna a explicação mais fácil, pois vamos vê-las na prática.
Exercícios sobre sistemas lineares
QUESTÃO 1
(Espcex ) Sejam as matrizesSe AB = C, então x + y + z é igual a
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
RESOLUÇÃO:
Importante: veja que, se AB = C, então devemos multiplicar uma matriz 3×3 por uma matriz 3×1 e tudo isso deve ser igual a outra matriz 3×1. Então, tudo isso vai acabar virando um sistema linear.
O primeiro passo é multiplicar a primeira linha da matriz A pela coluna da matriz B:
Uma equação matricial nesse smolder cai em uma sistema linear. Veja que temos três equações e três incógnitas. Nesse caso, recomendo usar o escalonamento, para cancelarmos algumas variáveis e deixar o sistema mais simples.
Para isso, podemos escolher uma incógnita para zerar. Aqui, é mais simples fazer isso com o y. Vamos, então, somar a primeira equação com a segunda e com a terceira.
Chegamos, então, a um sistema escalonado, que nos permite descobrir os valores das incógnitas. Veja que a terceira equação nos dá o valor de x:
2x = -4
x = -2
Agora podemos ir de baixo para cima, fazer substituições:
3x – 2z = -12
-6 – 2z = -12
-2z = -6
z = 3
Subindo:
x – y + z = 0
-2 – y + 3 = 0
y = 1
Para finalizar, basta somarmos os três valores:
x + y + z = -2 + 1 +3 = 2
RESPOSTA: E
QUESTÃO 2
(Unicamp) Para qual valor de a a equação matricial
não admite solução?
a) 1
b) 0
c) -1
d) -2
RESOLUÇÃO:
Aqui, vamos precisar de um pouco de teoria. Algo muito importante é lembrarmos que os sistemas podem ter infinitas soluções (SPI), uma única solução (SPD) ou nenhuma solução (sistema impossível). E é este último que a questão está nos pedindo
Isso posto, vamos montar nosso sistema:
O próximo passo é fazer o determinante (D) dos coeficientes. No caso de um sistema impossível, o determinante deve ser igual a zero. Para isso, pegamos nossa primeira matriz e multiplicamos na diagonal. Ficaremos com: a² e com -a + 2. Agora, temos que subtrair a diagonal que subiu da diagonal que desceu:
D = a² + a – 2
Como sabemos que o determinante dos coeficientes é zero, pois a questão nos pede que seja impossível, podemos igualar:
a² + a – 2 = 0
Fazendo as contas utilizando soma e produto:
a1 + a2 = -1
a1 . a2 = -2
Não temos muita saída: a1 = 1 e a2 = -2.
O próximo passo é substituir os valores do a para ver em quais ocasiões chegamos a um sistema impossível.
Para a = 1:
Veja que se resolvermos esse sistema por soma, cancelamos tudo, ou seja, 0 = 0. Nesse caso, chegamos a um SPI (Sistema Possível Indeterminado). Então vamos testar a outra possibilidade:
Para a = -2:
Chegamos a um sistema impossível, pois se multiplicarmos a primeira equação por -2 e somar com a segunda, vamos cancelar a parte da esquerda, mas do outro lado teremos -12. Ou seja, 0 = -12.
RESPOSTA: D
QUESTÃO 3
(UFMS) Em uma empresa de venda de carros, são vendidos três modelos de carros, em três versões diferentes, e o faturamento pode ser escrito na forma matricial
Para que o sistema tenha soluções próprias, o valor de k é:
a) -2
b) -1/2
c) 0
d) 1/2
e) 2
RESOLUÇÃO:
Novamente caímos em uma equação matricial. Portanto, vamos montar o sistema:
Veja que o enunciado nos diz que o sistema deve ter soluções próprias. Como temos um sistema homogêneo, isso significa que o sistema deve ser SPI: Sistema Possível e Indeterminado. Isso significa que podemos ter mais soluções além da chamada trivial, que seria a solução em que tudo vale zero.
Veja que como a questão usa o plural (“soluções”), ela só pode estar falando de um SPI. Afinal, SPD tem apenas uma solução e SI não têm solução.
Vamos, agora, fazer o determinante dos coeficientes, igualando a zero:
Vamos multiplicar as diagonais (para cima):
-3, -4k, 2k. E agora as diagonais secundárias (para baixo): 2k, 2, 6k. Lembre-se de que temos que subtrair as diagonais secundárias das primárias:
D = -3 -4k – (2 + 6k)
D = -5 -10k
Para que seja SPI:
-5 – 10k = 0
k = -1/2
RESPOSTA: B
QUESTÃO 4
(Enem) Na figura estão representadas três retas no plano cartesiano, sendo P, Q e R os pontos de intersecções entre as retas, e A, B e C os pontos de intersecções dessas retas com o eixo x.
Essa figura é a representação gráfica de um sistema linear de três equações e duas incógnitas que
a) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos P, Q e R, pois eles indicam onde as retas se intersectam.
b) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos A, B e C, pois eles indicam onde as retas intersectam o eixo das abscissas.
c) possui infinitas soluções reais, pois as retas se intersectam em mais de um ponto.
d) não possui solução real, pois não há ponto que pertença simultaneamente às três retas.
e) possui uma única solução real, pois as retas possuem pontos em que se intersectam.
RESOLUÇÃO:
a) FALSA. Para que um sistema desse molde tenha solução, é necessário que todas as retas se encontrem em um só ponto, o que não acontece na figura da questão.
b) FALSA. Três soluções? Lembre-se de que sistemas têm uma solução, infinitas soluções ou nenhuma.
c) FALSA. Elas se interceptam em diversos pontos, mas não em infinitos pontos, além de não possuírem um ponto em comum.
d) VERDADEIRA. Não há solução real, pois não há ponto em comum.
RESPOSTA: D
Para aprender mais
Se quiser ver a resolução dessas e de muitas outras questões, assista à minha live:
Espero que você tenha entendido melhor a lógica que você deve utilizar para resolver sistemas lineares. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
