Neste post, vamos conhecer os principais produtos notáveis e entender como eles funcionam. Spoiler: para usá-los, é preciso lembrar da propriedade distributiva. Acompanhe!
Alguns dos produtos notáveis mais conhecidos são:
Quadrado da soma
A fórmula do quadrado da soma é a seguinte:
(a + b)² = (a + b) . (a + b)
Aplicando a propriedade distributiva, chegaremos a:
(a + b)² = a² + a.b + b.a + b²
Ajustando a equação:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Para gravar alguns produtos notáveis, costumamos usar frases prontas e fáceis de decorar. Neste caso temos: “o quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo“.
Quadrado da diferença
Da mesma forma que o anterior, esse produto notável se dá por uma subtração elevada ao quadrado. Novamente, vamos utilizar a propriedade distributiva:
(a – b)² = (a – b) . (a – b)
(a – b)² = a² – a.b – b.a + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Para lembrar: “o quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo“.
Cubo da soma
Aqui já vamos trabalhar com expoente 3. A lógica se mantém, ou seja, uma soma elevada ao cubo. Não é complicado:
(a + b)³ = (a + b) . (a + b) . (a + b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Com uma expressão desse tamanho, não há frase que dê conta. Então a saída é lembrar a expressão inicial, já que é bem mais simples.
Cubo da diferença
Agora já podemos ir direto. Cuidado, porém, com os sinais. Muita atenção!
(a – b)³ = (a – b) . (a – b) . (a – b)
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Produto da soma pela diferença
Neste caso, vamos misturar as coisas, pois teremos a soma de dois termos multiplicada pela diferença desses mesmos termos. Veja:
(a + b) . (a – b) = a² – ab + ba – b²
(a + b) . (a – b) = a² – b²
Exemplos de exercícios sobre produtos notáveis
Vamos ver algumas questões em que temos que utilizar produtos notáveis para resolvê-las. Acompanhe.
QUESTÃO 1
(ESPM) O número que se deve somar a 456.788² para se obter 456.789² é:
a) 456.789
b) 1
c) 456.788
d) 913.579
e) 913.577
RESOLUÇÃO:
Tudo o que não conhecemos na matemática damos o nome de x. Seguindo o enunciado:
x + 456788² = 456789²
Vamos isolar o x. Veja o que acontece e se reconhece o tipo de produto notável:
x = 456789² – 456788²
Temos a diferença de dois quadrados. Toda vez que isso acontece, temos o produto da soma pela diferença.
(a + b) . (a – b) = a² – b²
Então:
x = (456789 + 456788) . (456789 – 456788)
x = (456789 + 456788) . 1
Antes de fazer a conta, observe as alternativas. Note que não precisamos resolver esse monstrengo. Isso porque somente uma delas nos dá o final que precisamos, isto é, um número acaba em 9 e o outro em 8, portanto teremos um número com final 7. E isso só encontramos na alternativa E.
RESPOSTA: E
QUESTÃO 2
(IFSC) Considere x o resultado da operação 525² – 523². Assinale a alternativa CORRETA, que representa a soma dos algarismos de x.
a) 18
b) 13
c) 02
d) 17
e) 04
RESOLUÇÃO:
Repare que o caminho a seguir é o mesmo do exercício anterior, seguindo o produto da soma pela diferença:
x = (525 + 523) . 2
x = 1048 . 2
x = 2096
No entanto, o enunciado nos pede a soma dos algarismos:
2 + 0 + 9 + 6 = 17
RESPOSTA: D
QUESTÃO 3
(UFRGS) Se x + y = 13 e x . y = 1, então x² + y² é
a) 166.
b) 167.
c) 168.
d) 169.
e) 170.
RESOLUÇÃO:
Toda vez que tivermos uma situação como essa, em que as incógnitas estão separadas bonitinhas e a questão nos pede o quadrado da equação, considere simplesmente elevar toda equação ao quadrado. Veja:
x + y = 13
Vamos fazer:
(x + y)² = 13²
Usando o quadrado da soma
x² + 2xy + y² = 169
Como sabemos que x . y = 1, vamos trocar:
x² + 2.1 + y² = 169
x² + y² = 167
RESPOSTA: B
Para aprender mais
Assista à aula abaixo com a resolução desses e de outros exercícios para aprender, de uma vez por todas, sobre operações com polinômios.
Espero que você tenha entendido melhor sobre produtos notáveis e como estudá-los. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
