Neste post, vamos falar sobre matemática financeira: juros simples, juros compostos e valor presente. É preciso muita atenção para resolver as questões envolvendo essa matéria, pois, em muitas delas, apenas conhecer as fórmulas não basta; é necessário saber interpretar a situação e dominar porcentagem.
Matemática financeira: conceitos importantes
Antes de entrarmos nos exercícios, vamos revisar alguns conceitos e fórmulas importantes.
- Capital: trata-se do valor do dinheiro no momento de uma transação.
- Juros: é um acréscimo sobre o capital, seja em forma de ganho em um aplicação ou de adicional para um empréstimo, por exemplo.
- Montante: é a soma do capital com os juros acrescidos.
- Variação percentual: refere-se ao acréscimo ou decréscimo em termos percentuais. É o que acontece com a inflação, por exemplo: em um mês um produto vale X, no outro já está valendo X + Y.
Juros simples
A correção é feita em cima do capital inicial. Pode ser calculado pela fórmula:
J = C . i . t
- C: capital inicial
- i: taxa de juros (percentual)
- t: duração da aplicação
Essa fórmula pode ser utilizada em conjunto com a equação utilizada para o cálculo do montante (M):
M = C + J
Podemos ir adiante e substituir o J nessa fórmula para obtermos a equação mais utilizada para cálculo de juros simples:
M = C . (1 + i . t)
Juros compostos
São os juros sobre os juros. Ao final de cada período, eles são aplicados sobre o montante de cada período, ou seja, a cada mês é aplicada uma correção sobre um capital que já passou por um acréscimo nos meses anteriores. A fórmula é a seguinte:
M = C . (1 + i)t
- M: montante final
- C: capital inicial
- i: taxa de juros (percentual)
- t: duração da aplicação
Exercícios de Matemática Financeira
QUESTÃO 1
(Ufpr) Alexandre pegou dois empréstimos com seus familiares, totalizando R$ 20.000,00. Ele combinou pagar juros simples de 8% ao ano em um dos empréstimos e de 5% ao ano no outro. Após um ano nada foi pago, e por isso sua dívida aumentou de R$ 20.000,00 para R$ 21.405,00. Quanto foi tomado emprestado de cada familiar?
a) R$ 2.600,00 e R$ 17.400,00.
b) R$ 4.000,00 e R$ 16.000,00.
c) R$ 6.500,00 e R$ 13.500,00.
d) R$ 7.700,00 e R$ 12.300,00.
e) R$ 8.200,00 e R$ 11.800,00.
RESOLUÇÃO:
Para organizar o pensamento, vamos chamar os dois empréstimos que Alexandre pegou de empréstimo A e empréstimo B. Note que não sabemos o valor de cada um, apenas o total. Então, usando termos mais matemáticos:
- Empréstimo A: x, com juros de 8% a.a;
- Empréstimo B: y, com juros de 5% a.a;
Sabendo que x + y = 20000, a saída aqui será montarmos um sistema. Mas, para isso, precisamos de uma segunda equação.
Acompanhe o raciocínio utilizando a informação sobre as taxas de juros de cada empréstimo.
O cálculo do montante é:
M = C + J
Como vimos neste post, o juros simples é calculado por:
J = C . i . t
Substituindo:
M = C + C . i . t
Colocando o C em evidência:
M = C . (1 + i . t).
Portanto, para os empréstimos A e B teríamos:
MA = x (1 + 0.08 . 1) = 1,08x
MB = y (1 + 0,05 . 1) = 1,05y
Agora, considerando o valor final da dívida de Alexandre, podemos montar uma segunda equação:
1,08x + 1,05y = 21405
Com isso, conseguimos montar um sistema:
x + y = 20000
1,08x + 1,05y = 21405
Para resolver esse sistema, vamos multiplicar a equação de cima por -1,05. Assim:
-1,05x – 1,05y = -21000
1,08x + 1,05y = 21405
Utilizando o método da adição, vamos ficar com:
0,03x = 405
x = R$ 13,500,00
Veja que, como não há opção repetida nas alternativas, nem sequer precisamos calcular y.
RESPOSTA: C
QUESTÃO 2
(Upe-ssa) Diante da crise que o país atravessa, uma financeira oferece empréstimos a servidores públicos cobrando apenas juro simples. Se uma pessoa retirar R$ 8.000,00 nessa financeira, à taxa de juro de 16% ao ano, quanto tempo levará para pagar um montante de R$ 8.320?
a) 2 meses
b) 3 meses
c) 4 meses
d) 5 meses
e) 6 meses
RESOLUÇÃO:
Vamos utilizar a fórmula do juros simples, pois já temos dados suficientes:
M = C (1 + i . t)
8320 = 8000 . (1 + 0,16 . t)
Agora é mão na massa para fazer essas contas todas. Aplicando a distributiva:
832 = 800 + 128t
t = 1/4
Repare que esse resultado se refere a anos e que as alternativas trazem respostas em meses. Portanto, basta fazemos quanto vale 1/4 de ano (12 meses).
RESPOSTA: B
QUESTÃO 3
(Enem) Um rapaz possui um carro usado e deseja utilizá-lo como parte do pagamento na compra de um carro novo. Ele sabe que, mesmo assim, terá que financiar parte do valor da compra. Depois de escolher o modelo desejado, o rapaz faz uma pesquisa sobre as condições de compra em três lojas diferentes. Em cada uma, é informado sobre o valor que a loja pagaria por seu carro usado, no caso de a compra ser feita na própria loja. Nas três lojas são cobrados juros simples sobre o valor a ser financiado, e a duração do financiamento é de um ano. O rapaz escolherá a loja em que o total, em real, a ser desembolsado será menor. O quadro resume o resultado da pesquisa.
A quantia a ser desembolsada pelo rapaz, em real, será
a) 14.000.
b) 15.000.
c) 16.800.
d) 17.255.
e) 17.700.
RESOLUÇÃO:
A primeira coisa que temos que fazer é subtrair o valor do carro usado do carro novo:
Loja A: 28500 – 13500 = R$ 15.000,00
Porém, lembre-se de que o enunciado nos diz que esse valor será parcelado, ou seja, é preciso calcular os juros que vão incidir sobre ele. Como o juro apresentado é ao ano, basta utilizar:
15000 . 1,18 = R$ 17.700,00
Loja B: 27000 – 13000 = R$ 14.000,00
Aplicando o juros:
14000 . 1,20 = R$ 16.800,00
Loja C: 26500 – 12000 = R$ 14.500,00
Com os juros:
14500 . 1,19 = R$ 17.255,00
RESPOSTA: C
Para aprender mais
Para se aprofundar no conteúdo, assista à minha live especial sobre juros simples e compostos:
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