Na matemática, função é uma relação entre dois conjuntos A e B. Por exemplo: quando dizemos que temos uma função de A em B, isso quer dizer que devemos associar cada elemento de A a um único elemento de B, ou seja, quem faz parte de A não pode se ligar com dois elementos de B ao mesmo tempo.
Nesse nosso exemplo, a representação dessa função seria a seguinte: f: A → B, em que o conjunto A recebe o nome de domínio e o conjunto B é chamado de contradomínio.
Observe a figura que representa uma função relacionando dois conjuntos X e Y distintos:
Existem diferentes tipos de funções matemáticas. Para entendê-las, devemos ter em mente essa representação visual. São elas:
- Sobrejetora: quando todos os elementos do contradomínio recebem estão relacionados a pelo menos um elemento do domínio. Em termos mais simples, todos os elementos de Y recebem uma setinha de X.
- Injetora: quando todos os elementos do domínio têm relação com elementos diferentes do contradomínio, isto é, nenhum deles tem uma setinha apontada para o mesmo elemento.
- Bijetora: quando os dois conjuntos têm o mesmo número de elementos relacionados.
Essa relação entre os elementos dada por um função pode ser representada também em um gráfico. Geralmente, teremos no gráfico uma função de uma variável. Veja um exemplo:
Repare que cada ponto na curva nos dá uma coordenada no eixo x e outra no eixo y. A isso damos o nome de par ordenado. Importante dizer que a figura acima é apenas um exemplo. o gráfico de uma função pode nos dar uma reta, uma parábola, uma curva , duas retas etc.
Isso posto, chegamos à parte mais importante: as funções de primeiro e segundo grau. A função de primeiro grau é representada da seguinte forma:
f(x) = ax + b
Nesse caso, a chama-se coeficiente angular (é igual à tangente do ângulo e indica a inclinação da reta) e b é o coeficiente linear (indica onde a função vai cortar o eixo y).
Lembrando que as funções de primeiro grau sempre nos darão um gráfico com uma reta.
Por sua vez, a função de segundo grau (chamada também de quadrática) é representada assim:
f(x) = ax² +bx + c
As funções de segundo grau sempre nos darão um gráfico com uma parábola. Importante notar que a concavidade da parábola vai depender de a: se a < 0, então a parábola tem concavidade para baixo. Se a > 0, tem concavidade para cima.
Por fim, é importante falarmos da função composta e função inversa.
A função composta trata-se da aplicação de uma função em outra. Em outras palavras: a função da função.
Geralmente, teremos uma função f e uma função g que estão relacionadas. Nesse caso, elas podem ser representadas de duas formas: f(g(x)) ou simplesmente fog(x).
Já a função inversa é uma função bijetora, ou seja, a função é injetora e sobrejetora. Dessa forma, podemos trocar os conjuntos, relacionando os elementos de B aos elementos de A. Ela é escrita como f-1(x).
Exercícios sobre funções matemáticas
QUESTÃO 1
(Unicamp) Sabendo que a é um número real, considere a função f(x) = ax + 2, definida para todo número real x. Se f(f(1)) = 1 então
a) a = -1.
b) a = -1/2.
c) a = 1/2.
d) a = 1.
RESOLUÇÃO:
Veja que o exercício dos dá uma função: f(x) = ax + 2. Vamos lembrar que essa é uma função do primeiro grau, que nos dará uma reta no gráfico.
Repare que nos foi dada também uma função composta: f(f(1)) = 1. Nesse caso, a primeira coisa que temos que entender é que dentro dessa função tem uma f(1). E se temos uma f(1), então basta substituir na fórmula que o enunciado ofereceu, trocando x por 1:
f(1) = a.1 + 2 = a + 2
Então, teremos:
f(a+2) = 1
Ou seja, voltamos à fórmula original e trocamos x por a+2:
f(x) = ax + 2
f(a+2) = ax + 2
f(a+2) = a(a+2) + 2
Como sabemos que f(a+2) = 1, então:
a(a+2) + 2 = 1
Vamos fazer a distributiva e já arrumar, pois já dá pra ver que teremos uma equação do segundo grau. Ficamos com:
a² + 2a + 1 = 0
Importante: aqui não vamos usar a fórmula de Bhaskara nem soma e produto. Nessa questão, podemos resolver de uma forma mais inteligente, pois temos um trinômio quadrado perfeito (o quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo).
Isso quer dizer que temos um produto notável em mãos:
(a + 1)² = 0
Adotando essa saída, conseguimos ver com mais facilidade que: a = -1.
RESPOSTA: A
QUESTÃO 2
(Unicamp) Sejam a e b números reais positivos. Considere a função quadrática f(x) = x(ax + b), definida para todo número real x. No plano cartesiano, qual figura corresponde ao gráfico de y = f(x)?
RESOLUÇÃO:
Por partes. Vamos ver o que o enunciado nos deu: a > 0 e b > 0. Além disso: f(x) = x(ax + b).
Repare que essa função é do segundo grau, apenas escrita de forma diferente. Se aplicarmos a distribuitiva, teremos:
f(x) = ax² + bx
Se observarmos as alternativas, vemos que temos dois gráficos com a concavidade da parábola para cima e dois para baixo. Como vimos, toda vez que a > 0, a concavidade é virada para cima. Então já eliminamos duas alternativas.
Agora, vamos reparar na diferença entre os dois gráficos com a concavidade para cima, das alternativas a e b
Note que em a, temos um dos pontos de encontro com o eixo x no 0, que será um das raízes. A outra raiz é positiva. Já na alternativa b, também temos a raiz 0, mas a outra é negativa. Então, se conseguirmos descobrir a raiz da questão e apenas conferir se ela é positiva ou negativa, resolvemos a questão.
Vamos lembrar que quando queremos descobrir a raiz de uma função isso é a mesma coisa que igualá-la a zero. Então, pegando a função que já temos:
x(ax + b) = 0
Com isso, temos duas opções: x = 0 ou ax+b = 0. Assim, confirmamos o que vemos pelos gráficos, de que uma das raízes é zero. Agora, repare o que podemos fazer com o ax+b = 0: x = -b/a.
Voltemos ao enunciado, que nos diz que a e b são positivos. Ora, se eles são positivos e há um sinal negativo na equação, isso significa que a raiz será negativa.
RESPOSTA: B
Para aprender mais
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