Nesta aula, vamos resolver juntos algumas questões de Matemática que caíram na prova da Fuvest. Isso vai ajudar você a entender o estilo, os assuntos e o nível de dificuldade desse vestibular. Vamos lá?
Assuntos mais cobrados na Fuvest
Antes de irmos para os exercícios, um dado importante, até mesmo para direcionar os seus estudos. Observe na tabela abaixo os assuntos que mais caíram na Fuvest nos últimos 10 anos (os dados desconsideram 2021, por conta da pandemia):
Veja que a Fuvest adora cobrar geometria. O que costuma acontecer na primeira fase deste vestibular é cair uma questão de geometria plana, uma de geometria espacial e uma de geometria analítica. Esse é o padrão dos últimos anos.
Exercícios de revisão para a Fuvest
QUESTÃO 1
(Fuvest 2016) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ABC e ADC são retos, AB = AD = 1, BC = CD = 2 e BD é uma diagonal. O cosseno do ângulo BCD vale
a)
b)
c)
d)
e)
RESOLUÇÃO:
Este tipo de exercício é bastante típico da Fuvest. São questões que dão a informação, mas exigem que desenhemos para poder resolvê-las.
Veja que temos um quadrilátero, ou seja, uma figura de quatro lados. Note também que dois dos ângulos são retos, isto é, de 90º.
Na hora de desenhar, considere os vértices de uma forma que teremos uma figura que se assemelha a um losango não simétrico. Outra dica é: sempre que for desenhar um quadrilátero, escolha o vértice A e coloque os demais ou no sentido horário ou no sentido anti-horário.
Muita atenção às informações sobre o valor dos lados: AB e AD = 1, BC e CD = 2. Por isso que comentei que a figura não seria simétrica.
Para descobrir o cosseno, temos que considerar que temos dois ângulos de 90º e os outros dois ângulos serão, por óbvio, iguais. Chamaremos esse ângulo de 2α.
Para ficar mais claro, veja como desenhei a figura na nossa aula em vídeo:
Considerando apenas o triângulo formado por A, B e C, vemos que temos um triângulo retângulo. Com isso, podemos fazer Pitágoras para descobrir quanto vale C, que será nossa hipotenusa:
ΔABC: AC² = 1² + 2²
ΔABC: AC² = 5
ΔABC: AC = √5
Note que esse valor é o da diagonal AC. Com isso, podemos descobrir o cosseno de α neste mesmo triângulo usando a fórmula de cateto adjacente sobre hipotenusa. Isso nos leva a concluir que:
cos α =
Porém, essa ainda não é a resposta. O que o enunciado nos pede é o cosseno de BCD. Ou seja, como comentamos, temos que encontrar o cosseno de 2α. Nesse caso, temos o que chamamos de cosseno do arco duplo. Isso significa que existe uma fórmula – que infelizmente temos que decorar:
cos 2α = cos² α – sen² α
Para descobrir o seno, basta lembrar que se calcula por cateto oposto pela hipotenusa, ou seja:
sen α =
Substituindo na fórmula:
cos 2α = cos² α – sen² α
RESPOSTA: C
QUESTÃO 2
(Fuvest 2014) O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é
a)
b)
c)
d)
e)
RESOLUÇÃO:
Veja que quando o enunciado nos diz que temos que andar “pelo menos” oito casas, isso quer dizer que temos que calcular as probabilidades de oito casas ou mais.
Neste exercício, podemos listar todos os casos, porque vai nos ajudar a montar as probabilidades dos casos favoráveis em relação aos possíveis e quantos casos temos ao todo:
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
Este conjunto é o espaço amostral do lançamento de dois dados. São 36 casos ao todo. Os que nos interessam são aqueles que farão as peças se movimentarem ao menos oito vezes no jogo.
Aí vem a dica: olhando para as diagonais (esquerda inferior à direita superior), elas contam as mesmas somas. Exemplo: (6,2), (5,3), (4,4), (3,5) e (2,6); todas essas somas dão 8.
Então repare que a soma dos resultados dos dados é sempre igual nas diagonais quando montamos um conjunto organizado como fizemos. Veja como ficou fácil, pois abaixo desta diagonal temos todos os valores que darão oito ou mais. Nesta marcação temos 15 possibilidades.
Porém, a questão não acaba aí. Lembre-se de que o enunciado diz que resultados iguais nos dois dados devem ter seu valor dobrado. Nesse caso, faltaram (3,3), que daria 12, e (2,2), que daria 8. Ou seja, temos 17 possibilidades.
Lembrando que o cálculo da probabilidade é feito pelo número de caso que buscamos dividido pelos casos possíveis:
P =
RESPOSTA: C
QUESTÃO 3
(Fuvest 2013) Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é
a) 2√3
b) 4
c) 3√2
d) 3√3
e) 6
RESOLUÇÃO:
Novamente você deve desenhar a figura, que será um cubo. Feito isso, temos que considerar o tetraedro que compartilha os vértices com o cubo. Essa é a parte mais difícil da questão.
Uma dica: o enunciado nos diz que se trata de tetraedro regular. Isso significa que todas as arestas terão a mesma medida. Neste caso, o mais fácil é traçar a diagonal de todas as faces do cubo. Veja como desenhei na nossa aula em vídeo:
Note que não tirei esse tetraedro do nada. Em cubo, temos apenas duas possibilidades: as arestas ou as diagonais das faces. Nessa questão, no entanto, não teria como montar o tetraedro apenas com as arestas do cubo, pois todos os lados dele deve ser iguais.
Voltando ao enunciado, vemos que as arestas do cubo valem 2. Para as diagonais, temos que lembrar que a diagonal de um quadrado é medida por L√2. Nesse caso, 2√2. Com isso, cada aresta do tetraedro valerá 2√2.
Seguindo para a pergunta do exercício, temos que calcular a área de uma das faces do tetraedro. Lembrando que todas as faces são iguais Observe no desenho que fiz que as faces formarão um triângulo equilátero (em rosa):
E para calcular a área de um triângulo equilátero, temos a fórmula:
A = 2√3
RESPOSTA: A
Para aprender mais
Para se aprofundar no conteúdo, assista à minha live de mais de 1 hora com a resolução desses e de outros exercícios da Fuvest:
Espero que você tenha entendido melhor o que estudar para a prova de Matemática da Fuvest. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!
