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Exercícios de Geometria Analítica

A geometria analítica é a disciplina dentro da matemática que faz o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise

Fala, pessoal. Neste post, vamos fazer exercícios sobre geometria analítica. Antes, como sempre, vamos entender do que se trata esse conteúdo.

A geometria analítica é a disciplina dentro da matemática que faz o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise.

Isso inclui o estudo das áreas, a distância entre pontos, plano cartesiano, circunferências, triângulos, quadriláteros, vetores, parábolas e muito mais.

Exercícios sobre Geometria Analítica

QUESTÃO 1

(Unicamp) Sabendo que c é um número real, considere, no plano cartesiano, a circunferência de equação x² + y² = 2cx. Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação x + 2y = 3, então seu raio é igual a

a) √2.

b) √3.

c) 2.

d) 3.

RESOLUÇÃO:

Veja que esse exercício mistura circunferência com reta. A primeira coisa que temos que lembrar é que a equação da circunferência não pode ficar da forma que nos foi dada. Precisamos colocá-la na forma reduzida.Relembrando:

(x – x0)² + (y – y0)² = R²

Isso porque essa equação evidencia melhor as coordenadas do centro, que são x0 e y0.

Então:

x² + y² = 2cx

x² – 2cx + y² = 0

Veja que igualamos a zero e não foi à toa, pois dessa forma quase temos o trinômio completo. Precisamos apenas completar os quadrados. Como temos o quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, precisamos ver de onde o c saiu. Portanto:

x² – 2cx + c² + y² = c²

Veja que por termos adicionado o c² na esquerda, devemos fazer o mesmo na direita para balancear a equação. Agora vamos juntar tudo:

(x – c)² + (y – 0)² = c²

Repare que não tínhamos com quem juntar o y, então podemos utilizar o zero para fechar o trinômio. Com isso, temos a equação do jeito que queríamos.

Podemos ver agora, comparando, que o centro e o raio serão: C (c, 0); R = c.

O próximo passo é voltarmos ao enunciado e lembrar que nos foi dito que o centro pertence à reta (r). Ou seja: C (c, 0) ∈ r. Note que a questão nos deu a equação da reta. Então, arrumando: C (c, 0) ∈ x + 2y = 3.

Não precisamos pensar muito para ver que em C (c, 0), o c faz o papel de x e o 0 faz o papel de y. Portanto, basta substituir na equação da reta:

x + 2y = 3

c + 2 . 0 = 3

c = 3

Portanto: R = 3

RESPOSTA: D

QUESTÃO 2

(Enem) Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0; 4), B(4; 4), C(4; 0), D(2; 2) e E(0; 2).

Passando pelo ponto A, qual a equação forneceria a maior pontuação?

a) x = 0

b) y = 0

c) x² + y² = 16

d) x² + (y – 2)² = 4

e) (x – 2)² + (y – 2)² = 8

RESOLUÇÃO:

Nesta questão, temos duas possibilidades: construir uma circunferência ou uma reta. Veja, porém, que as alternativas já nos direcionam um pouco. E se prestarmos bem atenção no gráfico, os pontos formam um quadrado. (A, B, C, 0). E quando temos um quadrado, podemos inscrevê-lo em uma circunferência. Repare que o ponto D está exatamente no centro do quadrado. Então, podemos construir uma circunferência cujo raio é a distância entre D e A, por exemplo.

Note que em cada ponto que a circunferência passa nos fornece dois pontos, ou seja, temos 6 pontos (lembrando que a origem não fornece pontuação).

Agora observe no gráfico que o centro vale 2 tanto em x quanto em y: C (2, 2). E se isso acontece, o raio será a junção de D a 0. Isso vai nos dar a diagonal de um quadrado, que é calculada por: d = l√2. Portanto, como nosso quadrado tem lado 2: d = 2√2. Esse é o valor do nosso raio.

Então vamos para a fórmula da circunferência:

(x – 2)² + (y – 2)² = (2√2)²

(x – 2)² + (y – 2)² = 8

RESPOSTA: E

QUESTÃO 3

(Unicamp) No plano cartesiano, sejam C a circunferência de centro na origem e raio r > 0 e s a reta de equação x + 3y = 10. A reta s intercepta a circunferência C em dois pontos distintos se e somente se

a) r > 2.

b) r > √5.

c) r > 3.

d) r > √10.

RESOLUÇÃO:

Veja que, segundo o enunciado, a circunferência tem centro na origem, ou seja, (0, 0). Mas a questão nos traz uma reta que intercepta a circunferência. Cuidado: quando se fala em encostar em dois pontos, precisamos lembrar das posições relativas entre reta e circunferência.

Como queremos saber o raio, podemos passar uma reta tangenciando a circunferência. Observe:

Quando fazemos isso, a reta toca em apenas um ponto da circunferência. Se pegarmos a distância da origem ao ponto em que a tangente toca a circunferência, teremos o raio. E mais do que isso: a agente e o raio formarão um ângulo de 90º.

Se pegarmos a distância do centro da circunferência C até a reta s, conseguiremos descobrir o raio. Então, entenda que usamos a tangente, que toca em apenas um ponto, porque isso nos dá uma fórmula. Após calcular o valor, basta atribuirmos um valor menor, pois isso vai significar que a reta passará a cortar a circunferência, o que obrigatoriamente resulta em passar por dois pontos dela.

Agora, vamos calcular a distância de ponto até reta:

Nesse caso, a distância (d) será igual ao raio (R). Agora, note que a questão nos deu a fórmula: x + 3y = 10. Vamos arrumá-la para deixar igual à fórmula geral da reta:

x + 3y – 10 = 0

Voltando à fórmula da distância:

Sugiro, em seguida, fazer a racionalização, ou seja, tirar a raiz. Nesse caso, vamos multiplicar em cima e embaixo por √10. Assim, chegaremos a: R = √10. Esse é o valor da distância entre o centro e o ponto em que a tangente encosta na circunferência. Mas não é isso que queremos. Para a reta encostar em dois pontos, o raio precisa ser maior que esse valor encontrado: R > √10.

RESPOSTA: D

Para aprender mais

Se quiser ver a resolução dessas e de muitas outras questões, assista à minha live:

Espero que você tenha entendido melhor a lógica que você deve utilizar para resolver questões de Geometria Analítica. E se quiser aprofundar seus estudos em Matemática, Química e Física, acesse o site Professor Gabriel Miranda e conheça nossos planos e cursos. Espero você!

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